Geradenspiegelungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. Oktober 2011, 21:17 Uhr

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $\ g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $\ P$ bei der Spiegelung an $\ g$ . Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei der Spiegelung aneiner Geraden $\ g$
$(P \notin g)$
Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	...	...	...
2.	...	...	...
3.	...	...	...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit, desjeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.--*m.g.* 13:10, 27. Okt. 2011 (CEST)

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$ )

Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $\ S_g$ an der Geraden $g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und der Punkt P so abgebildet wird, dass gilt: $\overline{P\rho(P) } \perp g$ und $|Pg| = |g\rho (P)|$ .

Zweite Möglichkeit (etwas einfacher und plausibler ausgedrückt):

Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $\ S_g$ an der Geraden $g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{P\rho(P) }$ ist.

--Flo60 20:29, 31. Okt. 2011 (CET)

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $\ S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $\ A$ , $\ B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $\ g$ auf ihre Bilder $\ A'$ und $\ B'$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1

$\ A, B$ $\in$ $\ g$

Beweis:
Nach der Definition 'Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung' und des Satzes, dass die Zwischenrelation eine Invariante der Bewegung ist, ergibt sich das von selbst. --Flo60 20:53, 31. Okt. 2011 (CET)

Fall 2

$\ A$ $\in$ $\ g$ , $\ B$ $\notin$ $\ g$

Beweis:
Den Schnittpunkt von $\overline {BB'}$ mit $\ g$ bezeichnen wir mit $\ L$
Zunächst eine Skizze zum 'spielen': Bewege Punkt B nach belieben.

Zu zeigen: |AB| = |AB'|
Direkter Beweis

Fall I: $A \in \overline{BB'}$ : Nach Definition Mittelsenkrechten und Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ist dieser Fall bewiesen.

Fall II: $A \not\in \overline{BB'}$

Nach der Definition Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung und Defintion Geradenspiegelung ist g die Mittelsenkrechte von $\overline{BB'}$
Daraus folgt: |BL| = |LB'|
A und L liegen auf g, danach gilt nach der Reflexivität von '=', das |AL| = |AL|
Da das Mittelsenkrechtenkriterium einen Winkel von 90 vorschreibt, sind auch die beiden Winkel $\angle BLA$ und $\angle ALB'$ kongruent zueinander.
Nach SWS, der Definition von Kongruenz und den drei vorherigen Beweisschritten ist klar, dass |AB| = |AB'| ist.

Wirtschaftlicher wäre der Beweis mit dem Mittelsenkrechtenkriterium zu führen, dort hätte man nur einen Beweisschritt. --Flo60 21:17, 31. Okt. 2011 (CET)

Fall 3

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$

Beweis:

Fall 4

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$

Beweis:

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegeleachse eindeutig bestimmt.

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $\ S$ ist durch die Angabe eines Punktes $\ P$ und dem Bild von $\ S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $\ P \not= S(P)$ gilt.

@@ Zeile 89: / Zeile 89: @@
 ::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>
 Beweis:<br />
-Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
+Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math><br />
+Zunächst eine Skizze zum 'spielen': Bewege Punkt B nach belieben.
+<ggb_applet width="1366" height="607"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
+<br />
+<br />
+Zu zeigen: |AB| = |AB'|<br />
+Direkter Beweis<br /><br />
+Fall I: <math>A \in \overline{BB'}</math>: Nach Definition Mittelsenkrechten und Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ist dieser Fall bewiesen.<br /><br />
+Fall II: <math>A  \not\in  \overline{BB'}</math><br />
+Nach der Definition Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung und Defintion Geradenspiegelung ist g die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> <br />
+Daraus folgt: |BL| = |LB'|<br />
+A und L liegen auf g, danach gilt nach der Reflexivität von '=', das |AL| = |AL|<br />
+Da das Mittelsenkrechtenkriterium einen Winkel von 90 vorschreibt, sind auch die beiden Winkel <math>\angle BLA</math> und <math>\angle ALB'</math> kongruent zueinander.<br />
+Nach SWS, der Definition von Kongruenz und den drei vorherigen Beweisschritten ist klar, dass |AB| = |AB'| ist.<br /><br />
+Wirtschaftlicher wäre der Beweis mit dem Mittelsenkrechtenkriterium zu führen, dort hätte man nur einen Beweisschritt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:17, 31. Okt. 2011 (CET)
 =====Fall 3=====

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