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Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. Ferner sei <math>g</math> eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei <math>Z</math> der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in <math>M</math> auf <math>g</math> mit <math>k</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>k\setminus_Z</math> auf <math>g</math>: <math>\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g</math>. Ist <math>\varphi</math> fixpunktfrei? | Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. Ferner sei <math>g</math> eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei <math>Z</math> der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in <math>M</math> auf <math>g</math> mit <math>k</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>k\setminus_Z</math> auf <math>g</math>: <math>\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g</math>. Ist <math>\varphi</math> fixpunktfrei? | ||
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| + | <ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | Es scheint sich daraufhin herauszulaufen, dass die Schnittpunkte A und B aus <math>\ g \cap k</math> Fixpunkte bzgl. <math>\varphi</math> sind. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 16:58, 13. Nov. 2011 (CET) | ||
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==Aufgabe 3.2== | ==Aufgabe 3.2== | ||
Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math>. Wir definieren auf <math>X</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)</math>. Jedes Element des <math>\mathbb{R}^2</math> fassen wir als Punkt auf. Hat <math>\varphi</math> Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft) | Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math>. Wir definieren auf <math>X</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)</math>. Jedes Element des <math>\mathbb{R}^2</math> fassen wir als Punkt auf. Hat <math>\varphi</math> Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft) | ||
Version vom 13. November 2011, 16:58 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 3.1
(alles in ein und derselben Ebene)
Es sei 
ein Kreis mit dem Mittelpunkt 
und dem Radius 
. Ferner sei 
eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei 
der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in auf mit . Wir definieren eine Abbildung 
von 
auf : 
. Ist fixpunktfrei?
Es scheint sich daraufhin herauszulaufen, dass die Schnittpunkte A und B aus 
Fixpunkte bzgl. sind. --Flo60 16:58, 13. Nov. 2011 (CET)
Aufgabe 3.2
Es sei 
. Wir definieren auf 
die folgende Abbildung : 
. Jedes Element des 
fassen wir als Punkt auf. Hat Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
Aufgabe 3.3
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms 
mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel 
hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten 
. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms die folgende Abbildung : 
. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass einen Fixpunkt hat?
| 1 | 2 | |
| Nr. | Beschreibung des Schrittes | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
|---|---|---|
| 1. | 
|
gilt, wegen der Relation zwischen. |
| 2. | 
|
Relation zwischen bleibt nach der Ausführung der Bewegung erhalten. |
| 3. |  --> P=P'
|
folgt aus (1.) und (2.) und der Vss, dass A und B Fixpunkte sind. |
und 
eine Fixpunktgerade bezüglich 
Deshalb wird auch Punkt P bei der Bewegung auf sich selbst abgebildet.
(Ich bin mir nicht sicher, ob ich alles bedacht habe, vielleicht kann noch jemand was dazu sagen/korrigieren. Warum bei der Tabelle über der Spaltenbeschriftung noch 1. und 2. steht ist mir auch schleierhaft.) Pipi Langsocke 12:05, 10. Nov. 2011 (CET)
Aufgabe 3.5
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte 
Fixpunkte der Bewegung sind, so ist die identische Abbildung.
