Verschiebungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. Dezember 2011, 18:05 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)
2 Eigenschaften von Verschiebungen

Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_b \circ S_a$ mit $a || b$ heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: ( $\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung.

Wenn $a||b$ dann $V=\operatorname{id}$ .

Beweis ( $\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.

Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung. Für jede Gerade $g$ und ihr Bild $g'$ bei $V$ gilt: $g||g'$ .

Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_ \circ S_a$ eine Verschiebung ( $a||b$ . Ferner sei $g$ eine beliebige Gerade.

zu zeigen: $S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g$

Fall 1 $g \cap a = \{S_1\}$

Die Gerade $g$ möge also mit der Spiegelachse $a$ genau den Punkt $S_1$ gemeinsam haben. Mit $\alpha$ sei der Winkel zwischen den Geraden $a$ und $g$ bezeichnet.
Weil der Punkt $S_1$ zu $a$ gehört ist er bei $S_a$ ein Fixpunkt.
Weil $S_1$ der einzige Punkt ist, den $g$ mit $a$ gemeinsam hat, ist $S_1$ der einzige zu $g$ gehörige Fixpunkt bei $S_a$
Mit $g^*$ sei das Bild von $g$ bei der Spiegelung an $a$ bezeichnet.
Der Winkel zwischen $g^*$ und $a$ sei mit $\alpha^*$ bezeichnet.
Das Zwischenbild $g^*$ kann nicht parallel zu $b$ sein.
Dementsprechend hat $g^*$ mit $b$ genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit $S_2$ .
Der Winkel zwischen $g^*$ und $b$ sei mit $\beta$ bezeichnet.
Als Punkt der Geraden $b$ ist $S_2$ Fixpunkt bei $S_b$ .
Weil $S_2$ der einzige Punkt ist, den $g^*$ mit $b$ gemeinsam hat, ist $S_2$ der einzige zu $g^*$ gehörige Fixpunkt bei $S_b$ .
Das Bild von $g^*$ bei der Spiegelung an $b$ sei mit $g^{**}$ bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild $g'$ von $g$ bei der Verschiebung $S_b \circ S_a$ .
Der Winkel zwischen $g'$ und $b$ sei mit $\beta^*$ bezeichnet.

Aufgabe:

Begründen Sie 6.

Verschiebungsweite

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung $V$ . Für jedes Paar (Originalpunkt $P$ , Bildpunkt $P'$ bei $V$ ) gilt: $|PP'| = 2|ab|$ .

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 # Der Winkel zwischen <math>g'</math> und <math>b</math> sei mit <math>\beta^*</math> bezeichnet.
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