Lösung von Aufgabe 4: Unterschied zwischen den Versionen
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1. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden. | 1. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden. | ||
− | <br />2. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.<br />Annahme: <math>A</math> identisch <math>B</math> o.B.d.A. | + | <br />2. Voraussetzung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte mit nkoll(<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>).<br />Annahme: <math>A</math> identisch <math>B</math> o.B.d.A. |
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Version vom 21. Mai 2010, 11:10 Uhr
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien , und drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Lösung:
1. Es seien , und drei Punkte. Wenn , und nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.
2. Voraussetzung: Es seien , und drei Punkte mit nkoll(, , ).
Annahme: identisch o.B.d.A.
Schritt | Begründung |
1) Durch die Punkte und geht genau eine Gerade g. 2) identisch => Element g 3) Element g => koll(, ,) 4) Widerspruch zur Voraussetzung |
1) Axiom I/1 2) Identität 3) Definition: (kollinear) |
3. Sind drei Punkte nicht paarweise verschieden, so sind sie kollinear.
5. Sind drei Punkte paarweise verschieden, so sind sie nicht kollinear.
6. Nein.