Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | ||
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | ||
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| + | ===Lösungsvorschlag 1=== | ||
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| + | a)<br /> | ||
| + | Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden<br /> | ||
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| + | Behauptung: <math>\ a \|| c</math> | ||
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| + | Annahme: <math> \exists P:P\in a \wedge P\in b</math> | ||
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| + | Beweis: | ||
| + | (1) <math>\ a \|| b</math> Voraussetzung<br /> | ||
| + | (2) <math>\ b \|| c</math> Voraussetzung<br /> | ||
| + | (3) <math>\ P\in a </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a)<br /> | ||
| + | (4) <math>\ P\in c </math> Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c)<br /> | ||
| + | (5) <math>\ P\in a \wedge P\in c </math> (3),(4) <br /> | ||
| + | (6) <math>\ a= c</math> (5) Widerspruch zur Voraussetzung<br /> --[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 17:03, 3. Mai 2012 (CEST) | ||
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Version vom 3. Mai 2012, 16:03 Uhr
Aufgabe 3.5
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: 
.
b) Welche Eigenschaft der Relation 
auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
Lösungsvorschlag 1
a)
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden
Behauptung: 
Annahme: 
Beweis:
(1) 
Voraussetzung
(2) 
Voraussetzung
(3) 
Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a)
(4) 
Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c)
(5) 
(3),(4)
(6) 
(5) Widerspruch zur Voraussetzung
--Goliath 17:03, 3. Mai 2012 (CEST)
