Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen: Unterschied zwischen den Versionen
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==Drei nicht kollineare Punkte reichen aus== | ==Drei nicht kollineare Punkte reichen aus== | ||
===Satz:=== | ===Satz:=== | ||
− | ::Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt. | + | ::Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.<br /> |
+ | Seien dies die Punkte A, B, C mit den Bildern A', B', C'. | ||
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+ | Dazu nehmen wir an, dass es einen vierten Punkt D gibt, der zwei Bilder D' und D'' mit D' <math>\neq</math> D''. | ||
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+ | Der Beweis bietet sich in klassischer Tabellenform an. | ||
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+ | | 1. <math>Es \ gilt: \ |AD| = |A'D'| = |A'D''| \ ; \ |BD| = |B'D'| = |B'D''| \ , \ |CD| = |C'D'| = |C'D''|</math> || Annahme D hat zwei Punkte, Definition Bewegung | ||
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+ | | 2. Alle Punkte, für die gilt, dass sie von den Endpunkten einer Strecke je ein und denselben Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte dieser Punkte. D. h. A', B' und C' liegen auf dieser Mittelsenkrechten von <math>\overline{D'D''}</math> || Definition Mittelsenkrechte, (1) | ||
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+ | | 3. Es gilt also: koll(A', B', C'). Da eine Gerade immer auf eine Gerade abgebildet wird, gilt auch koll(A, B, C) und das ist Widerspruch zur Voraussetzung - Annahme ist zu verwerfen. || (2), Geradentreue bei Bewegung, Definition kollinear | ||
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+ | --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:20, 13. Mai 2012 (CEST) | ||
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==Der Reduktionssatz== | ==Der Reduktionssatz== | ||
===Satz: Reduktionssatz=== | ===Satz: Reduktionssatz=== |
Version vom 13. Mai 2012, 18:20 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Drei nicht kollineare Punkte reichen aus
Satz:
- Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.
- Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.
Seien dies die Punkte A, B, C mit den Bildern A', B', C'.
Dazu nehmen wir an, dass es einen vierten Punkt D gibt, der zwei Bilder D' und D mit D' D.
Der Beweis bietet sich in klassischer Tabellenform an.
Schritt | Begründung |
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1. ![]() |
Annahme D hat zwei Punkte, Definition Bewegung |
2. Alle Punkte, für die gilt, dass sie von den Endpunkten einer Strecke je ein und denselben Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte dieser Punkte. D. h. A', B' und C' liegen auf dieser Mittelsenkrechten von ![]() |
Definition Mittelsenkrechte, (1) |
3. Es gilt also: koll(A', B', C'). Da eine Gerade immer auf eine Gerade abgebildet wird, gilt auch koll(A, B, C) und das ist Widerspruch zur Voraussetzung - Annahme ist zu verwerfen. | (2), Geradentreue bei Bewegung, Definition kollinear |
--Flo60 18:20, 13. Mai 2012 (CEST)
Der Reduktionssatz
Satz: Reduktionssatz
- Jede Bewegung ist die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen.
Beweis
Es seien drei nicht kollineare Punkte und
eine Bewegung.
seien die Bilder von
bei
Fall 1
Fall 2
o.B.d.A.
Wo muss C`liegen
muss auf dem Kreis um
durch
liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.
muss auf dem Kreis um
durch
liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.
liegt damit in der Schnittmenge der beiden Kreise.
Warum wird
durch eine Spiegelung an
auf
abgebildet?
Es genügt zu zeigen, dass die Mittelsenkrechte von
ist.
ist die Mittelsenkrechte von
weil
und
.
Fall 3
o.B.d.A.
Spiegelung an der Mittelsenkrechten von führt auf Fall 2 zurück.
Fall 4
Fall 4.1
Umlaufsinn bleibt erhalten
Hier nochmal mit Bearbeitungsmöglichkeit (Einfügen von Mittelsenkrechten, Strecken etc.)
--Flo60 14:11, 29. Apr. 2012 (CEST)
Fall 4.2
Umlaufsinn bleibt nicht erhalten
--Flo60 14:11, 29. Apr. 2012 (CEST)