Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012): Unterschied zwischen den Versionen

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::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
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=== Definitionen und Sätze ===
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===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
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::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
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::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
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Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:
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::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
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===== Beweis von Satz II.1 =====
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:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
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::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
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===== Beweis von Satz II.2 =====
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:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
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===== Satz II.3 =====
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::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
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===== Beweis von Satz II.3: =====
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Übungsaufgabe 5.1
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= Der Begriff der Strecke=
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===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
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::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
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===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
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::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
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= Halbgeraden bzw. Strahlen =
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===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
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:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)

Version vom 15. Mai 2012, 11:05 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten \ A und \ B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl \ d mit d=0:\Longleftrightarrow A=B.
Definition II.1: (Abstand)
Der Abstand zweier Punkte \ A und \ B ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten \ A und \ B zugeordnet werden kann.
Schreibweise: d = \left| AB \right|.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte \ A und \ B gilt \left| AB \right| = \left| BA \right|.







Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte \ A, B und \ C für die gilt:

a) \left| AB \right| = 4, \left| BC \right| = 3, \left| AC \right| = 5

b) \left| AB \right| = 2, \left| BC \right| = 3, \left| AC \right| = 5

c) \left| AB \right| = 1, \left| BC \right| = 2, \left| AC \right| = 5





Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.
Falls \operatorname{koll} \left( ABC \right), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind \ A, \ B und \ C kollinear.


Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)
Ein Punkt \ B liegt zwischen zwei Punkten \ A und \ C, wenn \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| gilt und der Punkt \ B sowohl von \ A als auch von \ C verschieden ist.
Schreibweise: \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

Satz II.1
Aus \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) .
Beweis von Satz II.1
Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)


Satz II.2:
Aus \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) .
Beweis von Satz II.2
Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)


Satz II.3
Es sei \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) mit \ A, B, C sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) oder \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) oder \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) .
Beweis von Satz II.3:

Übungsaufgabe 5.1

Der Begriff der Strecke

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


Definition II.4: (Länge einer Strecke)
Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Halbgeraden bzw. Strahlen

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Definition (Halbgerade AB^+): (ergänzen Sie)
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