Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012): Unterschied zwischen den Versionen
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::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> | ::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> |
Version vom 15. Mai 2012, 13:28 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Der Abstand zweier Punkte
Die ersten beiden Abstandsaxiome
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten
und
gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl
mit
.
Definition II.1: (Abstand)
- Der Abstand zweier Punkte
und
ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten
und
zugeordnet werden kann.
Schreibweise:.
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte
und
gilt
.
Aufgabe
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte und
für die gilt:
a) = 4,
= 3,
= 5
b) = 2,
= 3,
= 5
c) = 1,
= 2,
= 5
Das Axiom der Dreiecksungleichung
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte
und
gilt:
- Für drei beliebige Punkte
- Falls
, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Falls
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind
,
und
kollinear.
Definitionen und Sätze
Definition II.2: (Zwischenrelation)
- Ein Punkt
liegt zwischen zwei Punkten
und
, wenn gilt:
- Ein Punkt
-
und
,
und
sind paarweise verschieden.
-
- Schreibweise:
- Schreibweise:
Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:
Satz II.1
- Aus
folgt
.
- Aus
Beweis von Satz II.1
- Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Satz II.2:
- Aus
folgt
.
- Aus
Beweis von Satz II.2
- Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Satz II.3
- Es sei
mit
sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entwederoder
oder
.
- Es sei
Beweis von Satz II.3:
Übungsaufgabe 5.1
Der Begriff der Strecke
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
- Es seien
und
zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
- Es seien
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
- Es seien
und
zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
- Es seien
Halbgeraden bzw. Strahlen
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
- Definition (Halbgerade
): (ergänzen Sie)