Aus der Vorlesung vom 15.05.2012: Unterschied zwischen den Versionen

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= Der Abstand zweier Punkte =
 
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=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===
 
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

Version vom 15. Mai 2012, 13:06 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe

Wir teilen den Vorlesungsraum in 4 Gruppen:
Gruppe "Fenster", Gruppe "Mitte Nähe Fenster", Gruppe "Mitte Nähe Wand", Gruppe "Wand".

Bitte definieren Sie...

  • Gruppe Fenster: "parallel auf der Menge der Geraden"
  • Gruppe Mitte Nähe Fenster: "parallel auf der Menge der Ebenen"
  • Gruppe Mitte Nähe Wand: "windschief auf der Menge der Geraden"
  • Gruppe Wand: "windschief auf der Menge der Ebenen"


Berabeitungszeit: 3 Minuten. Los geht´s!


Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten \ A und \ B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl \ d mit d=0:\Longleftrightarrow A=B.
Definition II.1: (Abstand)
Der Abstand zweier Punkte \ A und \ B ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten \ A und \ B zugeordnet werden kann.
Schreibweise: d = \left| AB \right|.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte \ A und \ B gilt \left| AB \right| = \left| BA \right|.










Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte \ A, B und \ C für die gilt:

a) \left| AB \right| = 4, \left| BC \right| = 3, \left| AC \right| = 5

b) \left| AB \right| = 2, \left| BC \right| = 3, \left| AC \right| = 5

c) \left| AB \right| = 1, \left| BC \right| = 2, \left| AC \right| = 5









Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.
Falls \operatorname{koll} \left( ABC \right), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind \ A, \ B und \ C kollinear.






Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)
Ein Punkt \ B liegt zwischen zwei Punkten \ A und \ C, wenn gilt:
  • \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| und
  • \ A, \ B und \ C sind paarweise verschieden.
Schreibweise: \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)






Es gelten die folgenden Sätze:

Satz II.1
Aus \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) .


Satz II.2:
Aus \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) .


Satz II.3
Es sei \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) mit \ A, B, C sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) oder \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) oder \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) .
Beweis von Satz II.3:

Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?










Strecken und Halbgeraden







Aufgabe

Definieren Sie:

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


Definition II.4: (Länge einer Strecke)
Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Definition (Halbgerade AB^+): ......(ergänzen Sie)
Definition (Halbgerade AB^-): ......(ergänzen Sie)
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