Lösung von Zusatzaufgabe 3.4 (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie die Äquvalenzaussage
 
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'''Für alle n  <math>\epsilon</math> <math>\mathbb{N}</math> gilt: n ist gerade <math>\Leftrightarrow</math> n<sup>2</sup> ist gerade.'''<br />
 
'''Für alle n  <math>\epsilon</math> <math>\mathbb{N}</math> gilt: n ist gerade <math>\Leftrightarrow</math> n<sup>2</sup> ist gerade.'''<br />
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<u>Implikation:</u> Wenn <math>n\in N</math> gerade ist, dann ist auch <math>n^{2}</math> gerade.<br />
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<u>Umkehrung:</u> Wenn <math>n^{2}</math> gerade ist, dann ist auch <math>n\in N</math> gerade.
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'''Beweis Implikation:'''<br />
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Voraussetzung: <math>n\in N</math> gerade<br />
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Behauptung:<math>n^{2}</math> gerade<br />
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Annahme: <math>n^{2}</math> ungerade
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(1) <math>n\in N</math> gerade / Vor.<br />
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(2) <math>n^{2}</math> kann nur ungerade sein, wenn man zwei ungerade Zahlen miteinander multipliziert. / trivial, Widerspruch zur Vor.<br />
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(3) Annahme zu verwerfen. / (2)<br />
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(4) Behauptung stimmt / (3)<br />
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q.e.d.<br /><br />
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'''Beweis Umkehrung:'''<br />
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Voraussetzung: <math>n^{2}</math> gerade<br />
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Behauptung: <math>n\in N</math> gerade<br />
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Annahme: <math>n\in N</math> ungerade
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(1) <math>n^{2}</math> gerade / Vor.<br />
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(2) <math>n\in N</math> kann nur gerade sein, wenn die Quadratwurzel (nach Vor.) gerade ist. / trivial, Widerspruch zur Vor.<br />
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(3) Annahme zu verwerfen. / (2)<br />
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(4) Behauptung stimmt / (3)<br />
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q.e.d.<br />
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--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 10:30, 8. Jun. 2012 (CEST)
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[[Kategorie: Einführung_S]]
 
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Version vom 8. Juni 2012, 09:30 Uhr

Aufgabe 4

Beweisen Sie die Äquvalenzaussage Für alle n \epsilon \mathbb{N} gilt: n ist gerade \Leftrightarrow n2 ist gerade.

Implikation: Wenn n\in N gerade ist, dann ist auch n^{2} gerade.
Umkehrung: Wenn n^{2} gerade ist, dann ist auch n\in N gerade.

Beweis Implikation:
Voraussetzung: n\in N gerade
Behauptung:n^{2} gerade
Annahme: n^{2} ungerade

(1) n\in N gerade / Vor.
(2) n^{2} kann nur ungerade sein, wenn man zwei ungerade Zahlen miteinander multipliziert. / trivial, Widerspruch zur Vor.
(3) Annahme zu verwerfen. / (2)
(4) Behauptung stimmt / (3)
q.e.d.

Beweis Umkehrung:
Voraussetzung: n^{2} gerade
Behauptung: n\in N gerade
Annahme: n\in N ungerade

(1) n^{2} gerade / Vor.
(2) n\in N kann nur gerade sein, wenn die Quadratwurzel (nach Vor.) gerade ist. / trivial, Widerspruch zur Vor.
(3) Annahme zu verwerfen. / (2)
(4) Behauptung stimmt / (3)
q.e.d.
--Tchu Tcha Tcha 10:30, 8. Jun. 2012 (CEST)

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