Lösung von Zusatzaufgabe 8.4 S: Unterschied zwischen den Versionen

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| 2) || Es existiert ein Dreieck <math>\overline{ABQ} </math> ||(1) || besser: Es existiert das Dreieck <math>\overline{ABQ}</math>. Die drei Punkte <math>A, B, Q</math> waren jetzt ja bestimmt. Weil sie nicht kollinear sind, sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks. Siehe Definition des Begriffs Dreieck, muss hier aber nicht mehr explizit aufgeführt werden.  
 
| 2) || Es existiert ein Dreieck <math>\overline{ABQ} </math> ||(1) || besser: Es existiert das Dreieck <math>\overline{ABQ}</math>. Die drei Punkte <math>A, B, Q</math> waren jetzt ja bestimmt. Weil sie nicht kollinear sind, sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks. Siehe Definition des Begriffs Dreieck, muss hier aber nicht mehr explizit aufgeführt werden.  
 
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| 3)||<math>\overline{AB}  \cap g \neq \emptyset</math>||(Annahme|| korrekt
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| 3)||<math>\overline{AB}  \cap g \neq \emptyset</math>||(Annahme)|| korrekt
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|4)||( <math>\overline{AQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{BQ}  \cap g \neq \emptyset</math>)<br />
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  oder<br />
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  ( <math>\overline{BQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{AQ}  \cap g \neq \emptyset</math>)||Axiom von Pasch|| ...
 
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1) <math>\operatorname{nkoll}(A, B, C)</math>  (Voraussetzung) <br />
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2) Es existiert ein Dreieck <math>\overline{ABQ} </math> (1))<br />
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3)  <math>\overline{AB}  \cap g \neq \emptyset</math>  (Annahme)<br />
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4) ( <math>\overline{AQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{BQ}  \cap g \neq \emptyset</math>)<br />
 
4) ( <math>\overline{AQ}  \cap g = \emptyset</math> und <math>\overline{BQ}  \cap g \neq \emptyset</math>)<br />
 
   oder<br />
 
   oder<br />

Version vom 18. Juni 2012, 16:35 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Aufgabe

Seien A, B und Q drei paarweise verschiedene Punkte für die gelte \operatorname{nkoll}(A, B, Q). Sei g eine Gerade. Beweisen Sie:
A, B \in \ gQ^{+} \setminus g \Rightarrow \overline{AB} \cap g = \emptyset.

Skizze

Skizze 8.1.pdf

Voraussetzung, Behauptung

Voraussetzung:

(V1) A\neq B\neq Q\neq A
(V2) \operatorname{nkoll}(A, B, C)
(V3) Gerade g
(V4) A, B \in \ gQ^{+} \setminus g

Behauptung:

\overline{AB} \cap g = \emptyset
Beweis folgt..
--Tchu Tcha Tcha 19:22, 15. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Damit sind die Grundlagen für den Beweis korrekt gelegt.

Beweis durch Widerspruch

Annahme

\overline{AB} \cap g \neq \emptyset

Beweis:

Nr. Beweischritt Begründung Bemerkung M.G.
1) \operatorname{nkoll}(A, B, C) Voraussetzung korrekt, vielleicht genauer (V2)
2) Es existiert ein Dreieck \overline{ABQ} (1) besser: Es existiert das Dreieck \overline{ABQ}. Die drei Punkte A, B, Q waren jetzt ja bestimmt. Weil sie nicht kollinear sind, sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks. Siehe Definition des Begriffs Dreieck, muss hier aber nicht mehr explizit aufgeführt werden.
3) \overline{AB} \cap g \neq \emptyset (Annahme) korrekt
4) ( \overline{AQ} \cap g = \emptyset und \overline{BQ} \cap g \neq \emptyset)
  oder

  ( \overline{BQ}  \cap g = \emptyset und \overline{AQ}  \cap g \neq \emptyset)||Axiom von Pasch|| ...


4) ( \overline{AQ} \cap g = \emptyset und \overline{BQ} \cap g \neq \emptyset)

  oder

  ( \overline{BQ}  \cap g = \emptyset und \overline{AQ}  \cap g \neq \emptyset)  (3), Axiom von Pasch)

5) Widerspruch zur Voraussetzung:

   \overline{AQ}  \cap g = \emptyset und \overline{BQ}  \cap g = \emptyset  (4), Vor: A, B \in \ gQ^{+} \setminus g )


Behauptung folgt ! \overline{AB} \cap g = \emptyset
--a.b.701 13:40, 16. Jun. 2012 (CEST)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ @a.b.701: A)Muss in der Begründung in deinem Schritt 1 neben der Vor. nicht auch noch Def. I/2 stehen? B)Folgt dann im Schritt 2 logisch, dass die Punkte A,B,C ein Dreieck bilden? Oder muss man hier noch einen Zwischenschritt machen. Vielleicht über die Dreiecksungleichung als Begründung? --Luca123 18:37, 17. Jun. 2012

Ich hätte in Schritt 1 auch zusätzlich noch die Def. I/2 dazu geschrieben. Ich denke aber, dass es nicht zwingend notwendig ist, da es sich hier in diesem Fall nur aus der Voraussetzung ergibt. (?)--Sissy66 23:51, 17. Jun. 2012 (CEST)

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