Lösung von Aufgabe 9.3 S: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie den Satz.<br />
 
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==Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
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==Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
 
[[Datei:Aufgabe 9.3S.png]]<br />Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!<br />Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.<br />Fortsetzung folgt...<br />
 
[[Datei:Aufgabe 9.3S.png]]<br />Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!<br />Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.<br />Fortsetzung folgt...<br />
 
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
 
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
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===Bemerkung M.G.===
 
===Bemerkung M.G.===
 
Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf <math>g, s_1</math> und <math>s_2</math> geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
 
Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf <math>g, s_1</math> und <math>s_2</math> geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
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Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:<br />
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Annahme: Es gibt 2 Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen.<br />
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(1) <math>g\in E</math> // Voraussetzung<br />
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(2) <math>P\in g</math> // Voraussetzung<br />
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(3) <math>\exists s_1 \in E:  s_1\cap g = \{P\} \wedge s_1 \perp g</math>  //Annahme<br />
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(4) <math>\exists s_2 \in E:  s_2\cap g = \{P\} \wedge s_2 \perp g</math>  //Annahme<br />
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(5) <math>\exists S_1 \in s_1 \wedge S_2 \in s_2 \wedge P_2 \in g</math>: <math>S_1\neq S_2\neq P_2\neq P\neq S_1</math> // Axiom I.2<br />
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(6) <math>\left|\angle S_1PP_2\right| = 90 \wedge \left|\angle S_2PP_2\right| = 90</math> // Annahme, (3),(4)<br />
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(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl <math>\ PS^{+}</math> zu <math>\ PP_2</math>mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen
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<math>\ PS_1^{+}</math> und <math>\ PS_2^{+}</math> identisch sein.<br />
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(8) Widerspruch zur Annahme! // (7)<br />
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(9) Behauptung stimmt! // (8)<br />
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qed<br />
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--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)
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==Lösung von Ritterport==
 
==Lösung von Ritterport==
 
<br /><u>'''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E)<br /></u>
 
<br /><u>'''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E)<br /></u>

Version vom 24. Juni 2012, 18:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Aufgabe

Satz

Es sei g eine Gerade der Ebene E. Ferner sei P ein Punkt auf g. In der Ebene E gibt es genau eine Gerade s, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

Beweisen Sie den Satz.

Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

Aufgabe 9.3S.png
Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!
Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.
Fortsetzung folgt...
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen?? Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?
\Rightarrow die 2 Geraden müssten identisch sein, also Widerspruch zur Annahme! Behauptung stimmt..

--Tchu Tcha Tcha 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkung M.G.

Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden s_1 und s_2, die beide durch P gehen und senkrecht auf g stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf g, s_1 und s_2 geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--*m.g.* 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
Annahme: Es gibt 2 Geraden s_1 und s_2, die beide durch P gehen und senkrecht auf g stehen.
(1) g\in E // Voraussetzung
(2) P\in g // Voraussetzung
(3) \exists s_1 \in E: s_1\cap g = \{P\} \wedge s_1 \perp g //Annahme
(4) \exists s_2 \in E: s_2\cap g = \{P\} \wedge s_2 \perp g //Annahme
(5) \exists S_1 \in s_1 \wedge S_2 \in s_2 \wedge P_2 \in g: S_1\neq S_2\neq P_2\neq P\neq S_1 // Axiom I.2
(6) \left|\angle S_1PP_2\right| = 90 \wedge \left|\angle S_2PP_2\right| = 90 // Annahme, (3),(4)
(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl \ PS^{+} zu \ PP_2mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen \ PS_1^{+} und \ PS_2^{+} identisch sein.
(8) Widerspruch zur Annahme! // (7)
(9) Behauptung stimmt! // (8)
qed
--Tchu Tcha Tcha 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Ritterport


Idee: (Wir sind in einer Ebene E)
 Es gibt einen Punkt K, der nicht auf g liegt. Die Gerade s geht durch K und P. (Axiom I.1)
Also: g \cap s = \{P\}
Winkel \angle gPs hat das Maß 90 (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90)
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)
--RitterSport 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkung M.G.

Sie verwenden einen beliebigen Punkt K außerhalb von g. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte K und P bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden g rechte Winkel bilden? Der Punkt K war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf g liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt K derart gewählt zu haben, dass KP \perp g gilt.

Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte P als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von g, die durch P eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.

Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei PA^+ eine der beiden Halbgeraden, die durch P auf g eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...


Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in P auf g senkrecht stehenden Geraden s bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha --*m.g.* 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST)

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