Lösung von Aufgabe 9.3 S: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | <math>g\in \ E ; P\in E</math> | ||
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+ | genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet. | ||
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+ | es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.<math>h\neq s</math> | ||
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+ | {| class="wikitable " | ||
+ | ! Schritt | ||
+ | ! Beweis | ||
+ | ! Begründung | ||
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+ | |'''Existenz''' | ||
+ | |- | ||
+ | | 1 | ||
+ | | <math>\exist A:=A \in g</math> | ||
+ | | Axiom I/2 | ||
+ | |- | ||
+ | | 2 | ||
+ | | <math>\exist Q:=Q \not\in \ g \wedge \ Q\in E</math> | ||
+ | | Axiom I/3 | ||
+ | |- | ||
+ | | 3 | ||
+ | | <math>\exist \ PB^{+} := \ PB^{+} \in \ \ gQ^{+} \wedge \angle BPA =90</math> | ||
+ | | 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom), | ||
+ | |- | ||
+ | | 4 | ||
+ | | <math>\exists s:=B\in \ s \wedge P \in s</math> | ||
+ | | 3, Axiom I/2 | ||
+ | |- | ||
+ | | 5 | ||
+ | | <math>\ s \perp \ g</math> | ||
+ | | 3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht. | ||
+ | |- | ||
+ | | '''Eindeutigkeit''' | ||
+ | |- | ||
+ | | 6 | ||
+ | | <math> <math>\exist \ PC^{+} := \ PC^{+} \in \ \ gQ^{+} \wedge \angle CPA =90</math></math> | ||
+ | | 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom), | ||
+ | |- | ||
+ | | 7 | ||
+ | | <math>\exists h:=C\in \ h \wedge P \in h</math> | ||
+ | | 6, Axiom I/2 | ||
+ | |- | ||
+ | | 8 | ||
+ | | <math>\angle CPA =90 = \angle BPA</math> | ||
+ | | 3,6 | ||
+ | |- | ||
+ | | 9 | ||
+ | | <math>\ PB^{+} =\ PC^{+}</math> | ||
+ | | 8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion) | ||
+ | |- | ||
+ | | 10 | ||
+ | | h=s | ||
+ | | 9 | ||
+ | |- | ||
+ | | 11 | ||
+ | | Blitz | ||
+ | | 10, Widerspruch zur Ann. <math>h\neq s</math> | ||
+ | |- | ||
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+ | --[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)<br /><br /> | ||
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Version vom 26. Juni 2012, 16:59 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Aufgabe
Satz
Es sei eine Gerade der Ebene
. Ferner sei
ein Punkt auf
. In der Ebene
gibt es genau eine Gerade
, die durch
geht und senkrecht auf
steht.
Beweisen Sie den Satz.
Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!
Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.
Fortsetzung folgt...
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?
die 2 Geraden müssten identisch sein, also Widerspruch zur Annahme! Behauptung stimmt..
--Tchu Tcha Tcha 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)
Bemerkung M.G.
Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden und
, die beide durch
gehen und senkrecht auf
stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf
und
geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--*m.g.* 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
Annahme: Es gibt 2 Geraden und
, die beide durch
gehen und senkrecht auf
stehen.
(1) // Voraussetzung
(2) // Voraussetzung
(3) //Annahme
(4) //Annahme
(5) :
// Axiom I.2
(6) // Annahme, (3),(4)
(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl zu
mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen
und
identisch sein.
(8) Widerspruch zur Annahme! // (7)
(9) Behauptung stimmt! // (8)
qed
--Tchu Tcha Tcha 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)
Bemerkungen von M.G. zu Lösungsversuch 2 von Numero6
Fast perfekt. Sie müssten nur noch explizit annehmen, dass die beiden Geraden und
voneinander verschieden sind. Ansonsten ist es einfacher, von vornherein zu sagen, dass sich alles in der Ebene
abspielt. Dann brauche Sie dass nicht in diversen Schritten zu berücksichtigen. Auch bei Schritt 5 machen Sie sich das Leben unnötig schwer. Sie brauchen die Punkte auf den Geraden
und
lediglich zu Zwecken der Bezeichnung. Legen Sie die bereits zu Anfang des Beweises fest:
Annahme: Es ex. zwei verschiedene Geraden und
die senkrecht auf
stehen und die durch den Punkt
gehen.
und
seien zwei Punkte auf
bzw.
, die beide in derselben Halbebene bezüglich
liegen.(Auf eine Begründung, der Existenz dieser Punkte können wir jetzt verzichten. Wir könnten das problemlos erledigen und müssen jetzt nicht mehr bis in den letzten Urschleim der Inzidenz zurückgehen.Analog machen Sie es mit den Punkten, die Sie auf
auswählen, um die Winkel besser bezeichnen zu können.
--*m.g.* 22:08, 24. Jun. 2012 (CEST)
Danke, guter Tipp--Tchu Tcha Tcha 13:28, 25. Jun. 2012 (CEST)
Lösung von Rittersport
Idee: (Wir sind in einer Ebene E)
Es gibt einen Punkt , der nicht auf
liegt. Die Gerade
geht durch
und
. (Axiom I.1)
Also:
Winkel hat das Maß
(Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90)
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)
--RitterSport 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)
Bemerkung M.G.
Sie verwenden einen beliebigen Punkt außerhalb von
. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte
und
bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden
rechte Winkel bilden? Der Punkt
war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf
liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt
derart gewählt zu haben, dass
gilt.
Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von
, die durch
eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.
Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei eine der beiden Halbgeraden, die durch
auf
eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...
Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in auf
senkrecht stehenden Geraden
bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha
--*m.g.* 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST)
Fetter Text
Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus
Vor:
Beh:
genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet.
Ann:
es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.
Schritt | Beweis | Begründung |
---|---|---|
Existenz | ||
1 | ![]() |
Axiom I/2 |
2 | ![]() |
Axiom I/3 |
3 | ![]() |
2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom), |
4 | ![]() |
3, Axiom I/2 |
5 | ![]() |
3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht. |
Eindeutigkeit | ||
6 | ![]() |
2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom), |
7 | ![]() |
6, Axiom I/2 |
8 | ![]() |
3,6 |
9 | ![]() |
8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion) |
10 | h=s | 9 |
11 | Blitz | 10, Widerspruch zur Ann. ![]() |
--Kopernikus 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)
--Just noch ein sailA 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST)