Lösung von Aufgabe 6.4: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 29: Zeile 29:
 
Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
 
Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
 
====Vorraussetzung:====
 
====Vorraussetzung:====
−
Es existiert eine Ebene E mit A, B, C <math>\in</math> <math>Epsilon</math>
+
Es existiert eine Ebene E mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
 
====Annahme:====
 
====Annahme:====
 
A, B, C sind paarweise verschieden.
 
A, B, C sind paarweise verschieden.
Zeile 45: Zeile 45:
 
=====Fall 2:=====
 
=====Fall 2:=====
 
Je zwei Punkte sind nichtkollinear.
 
Je zwei Punkte sind nichtkollinear.
−
o.B.d.A koll(A, B) -> nkoll(A, C) <math>\wedge</math> nkoll(B, C)
+
<br />o.B.d.A koll(A, B) <-> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 +
<br />nkoll(A, B, C)
 +
<br />Nun besagt Axiom I/4
  
 +
        Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.
 +
 +
Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7|Satz I.7]]
 +
 +
Zusatz:
 
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
 
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
  
 
         Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.  
 
         Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.  
  
−
<br />(Deswegen brauchen wir auch den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!)
+
<br />(Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!)
  
 
<br /> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]
 
<br /> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]

Version vom 4. Juni 2010, 03:08 Uhr

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C. Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.


Inhaltsverzeichnis

 [Verbergen] 

Eins

Beweisschritt Begründung
(1) komp (A,B,C)
(2) A nicht identisch B 
   B nicht identisch C
   C nicht identlich A || 1)nach Definition I/6 
 2)nach Satz I/7


=> A, B, C sind paarweise verschieden


Kommt uns ein wenig zu kurz vor. von Maude001 und Nicola

Zwo

Behauptung:

Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.

Vorraussetzung:

Es existiert eine Ebene E mit A, B, C \in \Epsilon

Annahme:

A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

Fall 1:

koll(A, B, C) <-> A, B, C \in Gerade g Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C \in Epsilon und (nach Fallunterscheidung) A, B, C \in g. Dann greift Axiom I/5 

       Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

Fall 2:

Je zwei Punkte sind nichtkollinear.
o.B.d.A koll(A, B) <-> A, B \in Gerade g \land C \ni Gerade g
nkoll(A, B, C)
Nun besagt Axiom I/4 

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für Satz I.7

Zusatz: AXIOM I/1(Axiom von der Geraden) 

       Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.


(Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!)


--Heinzvaneugen

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_von_Aufgabe_6.4&oldid=1576“