Lösung von Aufgabe 6.4: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 27: Zeile 27:
 
===Zwo===
 
===Zwo===
 
====Behauptung:====
 
====Behauptung:====
−
Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
+
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
 
====Vorraussetzung:====
 
====Vorraussetzung:====
 
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
 
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
Zeile 45: Zeile 45:
 
=====Fall 2:=====
 
=====Fall 2:=====
 
Je zwei Punkte sind kollinear.
 
Je zwei Punkte sind kollinear.
−
<br />o.B.d.A koll(A, B) <-> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
+
<br />o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 
<br />nkoll(A, B, C)
 
<br />nkoll(A, B, C)
 
<br />Nun besagt Axiom I/4
 
<br />Nun besagt Axiom I/4

Version vom 4. Juni 2010, 03:18 Uhr

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C. Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.


Inhaltsverzeichnis

 [Verbergen] 

Eins

Beweisschritt Begründung
(1) komp (A,B,C)
(2) A nicht identisch B 
   B nicht identisch C
   C nicht identlich A || 1)nach Definition I/6 
 2)nach Satz I/7


=> A, B, C sind paarweise verschieden


Kommt uns ein wenig zu kurz vor. von Maude001 und Nicola

Zwo

Behauptung:

Wenn eine Ebene \Epsilon existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.

Vorraussetzung:

Es existiert eine Ebene \Epsilon mit A, B, C \in \Epsilon

Annahme:

A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

Fall 1:

koll(A, B, C) <-> A, B, C \in Gerade g Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C \in \Epsilon und (nach Fallunterscheidung) A, B, C \in g. Dann greift Axiom I/5 

       Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

Fall 2:

Je zwei Punkte sind kollinear.
o.B.d.A koll(A, B) -> A, B \in Gerade g \land C \ni Gerade g
nkoll(A, B, C)
Nun besagt Axiom I/4 

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für Satz I.7 ?

Zusatz: Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden) 

       Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.



--Heinzvaneugen

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_von_Aufgabe_6.4&oldid=1579“