Lösung von Aufgabe 6.9: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 4. Juni 2010, 03:32 Uhr

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ ..., dann ... .

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen:

...

Behauptung

$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}$

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	Element	Element
(III)	Element	Element
(IV)	Element	Element
(V)	Element	Element

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll( $\ A, B$ und $\ C$ )

Behauptung

$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	Für drei beliebige Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: $\left\|AB \right\|+ \left\| BC \right\| \geq \left\| AC \right\|.$	Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
(III)	$\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\|$ $\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\|$ $\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\|$	Axiom II/3.1 Axiom II/3.2 Axiom II/3.3
(IV)
(V)

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 ! style="background: #FFDDDD;"|(III)
 | <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
+<br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
+<br /><math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
 | Axiom II/3.1
+<br />Axiom II/3.2
+<br />Axiom II/3.3
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
-| <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
+|
-| Axiom II/3.2
+|
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(V)
-| <math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
+|
-| Axiom II/3.3
+|
 |}
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]