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Version vom 4. Juni 2010, 18:16 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Formatierungshilfen und -erinnerungen
2 Kleine Zusammenfassungen
- 2.1 Klasseneinteilung
- 2.2 Relationen
3 Versuch einer Auflistung

Formatierungshilfen und -erinnerungen

Schritt	Begründung
1)	Voraussetzung
2)	(1)
3)
4)
5)
6)

Kleine Zusammenfassungen

Klasseneinteilung

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$ .

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$ , wenn gilt:

notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$ .

Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$ stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $\ R$ in einer Menge $\ M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Versuch einer Auflistung

Axiome

AXIOM I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

AXIOM I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

AXIOM I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$ .

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ .

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $\ d$ gibt es auf jedem Strahl $\ p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $\ p$ den Abstand $\ d$ hat.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$ .

Definition II.1: (Zwischenrelation)

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Definition II.3: (Länge einer Strecke)

Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Lösung_von_Aufgabe_6.5

Lösung_von_Aufgabe_6.6

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ .

Sätze

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$ .

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ .

Satz II.3

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$ .

Satz II.4

Es sei $\ O$ ein Punkt einer Geraden $\ g$ .
Die Teilmengen $\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}$ , $\left\{ O \right\}$ und $\ OA^- \setminus \left\{ O \right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $\ g$ .

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

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 <br />
-== Eine kleine Zusammenfassung ==
+== Kleine Zusammenfassungen ==
 === Klasseneinteilung ===
 :Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
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 <u>Definition: (Äquivalenzrelation)</u>
 :Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.<br />
-=== Axiomatik ===
+== Versuch einer Auflistung ==
 ==== Axiome ====
 =====AXIOM I/0=====
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 =====Axiom I/7=====
 :Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
+===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
+:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
+===== Axiom II.2: =====
+:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
+===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
+:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
+===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
+:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.
 ==== Definitionen ====
 =====Definition I/2: (kollinear)=====
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 =====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
 :Zwei Ebene ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
+===== Definition II.1: (Abstand) =====
+:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.
+===== Definition II.1: (Zwischenrelation) =====
+:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
+:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
+===== Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
+:
+===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====
+:
+===== Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
+::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]
+::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]
+===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
+:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 ==== Sätze ====
 =====Satz I.1=====
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 =====Satz I.7:=====
 :Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
+===== Satz II.1 =====
+:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
+===== Satz II.2: =====
+:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
+===== Satz II.3 =====
+:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
+===== Satz II.4 =====
+:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.
+===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
+:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.