Aufgaben zur Inzidenz in der Ebene

Aufgabe 4.1

Es sei P die Menge der Punkte und G die Menge der Gerade. Wir betrachten folgendes Modell:
P = {A,B,C,D}
G = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}}

a) Veranschaulichen Sie das Modell durch eine Skizze.
b) Sind bei dem Modell die Axiome I.0 bis I.3 erfüllt?

Lösung von Aufgabe 4.1_S (WS_12_13)

Aufgabe 4.2

Hier finden Sie Aufgabe 4.2.

Lösung von Aufgabe 4.2_S (WS_12_13)

1. Axiom I.2 nicht erfüllt
2. Axiom I.3 nicht erfüllt
3. Axiom I.1 nicht erfüllt
4. Axiom I.0 nicht erfüllt

b. Axiome müssen unhängig sein, stehen für sich und können nicht abgeleitet werden.

--Yellow 14:20, 18. Nov. 2012 (CET)

Aufgabe 4.3

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien , und drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösung von Aufgabe 4.3_S (WS_12_13)

1. wenn A,B,C drei nicht kollinare Punkte sind, dann sind sie paarweise verschieden
2.
3. wenn A,B,C nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinar
4.
5. wenn A,B,C paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinar
Die Umkehrung entspricht dem Axiom I.3 und kann somit nicht bewiesen werden.

--Yellow 16:25, 18. Nov. 2012 (CET)

Aufgaben zur Inzidenz im Raum

Die Inzidenzaxiome können für die Geometrie im Raum erweitert werden. Lesen Sie sich hier die Inzidenz im Raum WS_12_13 durch, Sie benötigen die Axiome und Definitionen für die folgenden Aufgaben.

Aufgabe 4.4

Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufgabe 4.4_ (WS_12_13)