Version vom 14. Juni 2010, 09:56 Uhr

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien , und drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösung:

Teilaufgabe 1

Es seien , und drei Punkte.

Wenn , und kollinear sind , dann sind je zwei der Punkte , und nicht identisch.
Andere Formulierung:

Teilaufgabe 2: Indirekter Beweis der Implikation

Beweisprinzip

Wir nehmen an, dass bei wahrer Voraussetzung die Behauptung nicht gilt. Anders ausgedrückt: Wir negieren die Behauptung, bleiben aber dabei, dass die Voraussetzung wahr ist.

Bemerkung nebenbei: Es wäre sinnvoll, wenn sowas in Ihrem Glossar stehen würde. Dann bräuchte man jeweils nur einen Link zu setzen.

Voraussetzungen

allgemeine Voraussetzung

sind drei Punkte

Behauptung

Negation der Behauptung

vorangegangene Diskussionen bzw. Lösungsvorschläge

1. Es seien , und drei Punkte. Wenn , und nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.
2. Voraussetzung: Es seien , und drei Punkte mit nkoll(, , ).
Annahme: identisch o.B.d.A.

Schritt	Begründung
1) Durch die Punkte und geht genau eine Gerade g. 2) identisch => Element g 3) Element g => koll(, ,) 4) Widerspruch zur Voraussetzung	1) Axiom I/1 2) Identität 3) Definition: (kollinear)

3. Sind drei Punkte nicht paarweise verschieden, so sind sie kollinear.
5. Sind drei Punkte paarweise verschieden, so sind sie nicht kollinear.
6. Nein.

4. Voraussetzung: , und sind nicht paarweise verschieden.
Annahme: nkoll (, , )
I. durch die Punkte und geht genau eine Gerade g. ->Axiom I/1
II. ist kein Element von g -> Annahme
III. nicht identisch und nicht identisch -> I. und II.
IV. Widerspruch zur Voraussetzung