Vektorräume 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
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S2: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u)</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen) | S2: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u)</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen) | ||
| − | S3: Für beliebige math>u,v \in V</math> und beliebige <math>\lambda \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v </math> (1.Distributivgesetz) | + | S3: Für beliebige <math>u,v \in V</math> und beliebige <math>\lambda \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v </math> (1.Distributivgesetz) |
S4: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u</math> (2.Distributivgesetz) | S4: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u</math> (2.Distributivgesetz) | ||
Version vom 3. Dezember 2012, 14:42 Uhr
Definition des Begriff des Vektorraums
Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung
, 
und der äußeren Verknüpfung
, 
heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
A1: Für beliebige 
gilt 
(Kommuntativität der Addition).
A2: Für beliebige 
gilt 
. (Assoziativität der Addition)
A3: Es gibt ein neutrales Element 
, mit dem für alle Elemente 
gilt: 
. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)
A4: Zu jeden existiert ein Gegenvektor 
mit
S1: Für beliebige 
gilt 
.
S2: Für beliebige und beliebige 
gilt: 
(Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)
S3: Für beliebige und beliebige 
gilt: 
(1.Distributivgesetz)
S4: Für beliebige und beliebige gilt: 
(2.Distributivgesetz)
Bemerkung:
Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass 
eine Abelsche Gruppe bildet.
Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.
(Quelle: Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag)
