Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a}\oplus \overline{b} := \overline{a+b}</math> | <math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a}\oplus \overline{b} := \overline{a+b}</math> | ||
− | Die Struktur <math>\left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right)</math> | + | Die Struktur <math>\left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right)</math> ist eine Gruppe: |
#Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> abgeschlossen, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} \in \mathbb{Z}_4</math>, | #Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> abgeschlossen, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} \in \mathbb{Z}_4</math>, | ||
#Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> assoziativ, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in \mathbb{Z}_4: \left(\overline{a} \oplus \overline{b} \right) \oplus \overline{c}= \overline{a} \oplus \left( \overline{b} \oplus \overline{c} \right)</math>, | #Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> assoziativ, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in \mathbb{Z}_4: \left(\overline{a} \oplus \overline{b} \right) \oplus \overline{c}= \overline{a} \oplus \left( \overline{b} \oplus \overline{c} \right)</math>, | ||
+ | #<math>\mathbb{Z}_4</math> hat ein neutrales Element, nämlich <math>\overline{0}: \forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{0}= \overline{0} \oplus \overline{a} = \overline{a}</math>, |
Version vom 9. Dezember 2012, 18:45 Uhr
Beispiele für endliche Gruppen
Restklassen modulo 4
mit
(Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),
Wir definieren auf eine Verknüpfung wie folgt:
Die Struktur ist eine Gruppe:
- Die Verknüpfung ist auf der Menge abgeschlossen, d.h. ,
- Die Verknüpfung ist auf der Menge assoziativ, d.h. ,
- hat ein neutrales Element, nämlich ,