Version vom 15. Dezember 2012, 18:42 Uhr

Aufgabe 5.1

Es sei $\varphi \in \mathbb{R}$ .
Wir definieren die folgende Abbildung $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$
$\forall \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2: f \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}cos(\varphi) & -sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & cos(\varphi) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos(\varphi)x + (-sin(\varphi))y \\ sin(\varphi)x + cos(\varphi) y \end{pmatrix}$ .
Beweisen Sie: $f$ ist eine lineare Abbildung.
Interpretieren Sie $f$ geometrisch.
Hilfe:

Aufgabe 5.2

Es sei $Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix}$ , $d \in \mathbb{R}, d > 0$

Es sei $\varepsilon$ die $x-y-$ Ebene, die wir wiederum als $\mathbb{R}^2$ interpretieren. Wir bilden jedes Element des $\mathbb{R}^3$ mittels der Abbildung $ZP_Z$ auf $\varepsilon$ wie folgt ab:
$\forall P=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \setminus Z: ZP_Z(P)=ZP\cap \varepsilon$

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 Es sei <math>Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix}</math>,<math>d \in \mathbb{R}, d > 0</math>
-Es sei <math>\varepsilon</math> die <math>x-y-</math>Ebene, die wir wiederum als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren. Wir bilden jedes Element des <math>\mathbb{R}^3</math> mittels der Abbildung <math>ZP_Z</math>auf <math>\varepsilon</math>  wie folgt ab:
+Es sei <math>\varepsilon</math> die <math>x-y-</math>Ebene, die wir wiederum als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren. Wir bilden jedes Element des <math>\mathbb{R}^3</math> mittels der Abbildung <math>ZP_Z</math>auf <math>\varepsilon</math>  wie folgt ab:<br />
 <math>\forall P=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \setminus Z: ZP_Z(P)=ZP\cap \varepsilon</math>

Serie 05 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

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