Lösungen zu den Aufgaben 2: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>ax+by+cz=d</math> bezeichnet eine Ebene im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br />
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Es seien zwei Ebenen gegeben.<br />
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<math>e_1: a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 </math><br />
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<math>e_2: a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2</math><br />
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Die Lösungsmenge, die auf beide Ebenen passt entspricht der Schnittgerade. Damit kann also eine Gerade im <math>\mathbb{R}^3</math> mit zwei Gleichungen dargestellt werden. Allerdings sind diese Gleichungen nicht eindeutig.<br />
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Zur Bestimmung des Linearen Gleichungssystems, dass die Gerade durch die Punkte P, Q bestimmt, werden die beide Punkte je in die Gleichung  <math>e_1</math> und <math>e_2</math> eingesetzt.<br />
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<math> 5b_1 -2c_1=d_1 </math><br />
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<math>14a_1+3b_1 y+2c_1=d_1</math><br />
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<math> 5b_2 -2c_2=d_2 </math><br />
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<math>14a_2+3b_2 y+2c_2=d_2</math><br />
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'''Lösung der LGS'''<br />
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Gauß ergibt:<br />
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<math>7a_1+4b_1=d_1</math> und <math>7a_2+4b_2=d_2</math><br />
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Jeweils zwei Werte können frei gewählt werden, allerdings ist dabei zu achten, dass keine Vielfachen der Gleichungen entstehen. Damit lassen sich die Punkte durch folgedens LGS beschreiben:<br />
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<math>2y+z=8</math><br />
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<math>x+7y=35</math>

Version vom 27. Dezember 2012, 16:15 Uhr

Inhaltsverzeichnis

2.1

2.2

Man betrachte den Steigungswinkel \alpha am Steigungsdreieck. Mit der Steigung und dem tan\alpha berechnen Sie den Winkel.
a) 3x-y=9 \Leftrightarrow y=3x-9 .
\tan\alpha=3 \Rightarrow \alpha = 71,57^\circ

b) y + \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x-2)
\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}
\tan\alpha=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 26,57^\circ

c) P(3|1) und Q(-1|\frac{1}{2}) m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-\frac{1}{2}}{-4}=\frac{1}{8}
\tan\alpha=\frac{1}{8} \Rightarrow \alpha = 7,125^\circ

2.3

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Punkte in die Gleichung und Umstellen ;-).

2.4

ax+by+cz=d bezeichnet eine Ebene im \mathbb{R}^3.
Es seien zwei Ebenen gegeben.
e_1: a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1
e_2: a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2
Die Lösungsmenge, die auf beide Ebenen passt entspricht der Schnittgerade. Damit kann also eine Gerade im \mathbb{R}^3 mit zwei Gleichungen dargestellt werden. Allerdings sind diese Gleichungen nicht eindeutig.
Zur Bestimmung des Linearen Gleichungssystems, dass die Gerade durch die Punkte P, Q bestimmt, werden die beide Punkte je in die Gleichung e_1 und e_2 eingesetzt.

5b_1 -2c_1=d_1
14a_1+3b_1 y+2c_1=d_1


5b_2 -2c_2=d_2
14a_2+3b_2 y+2c_2=d_2

Lösung der LGS

Gauß ergibt:
7a_1+4b_1=d_1 und 7a_2+4b_2=d_2
Jeweils zwei Werte können frei gewählt werden, allerdings ist dabei zu achten, dass keine Vielfachen der Gleichungen entstehen. Damit lassen sich die Punkte durch folgedens LGS beschreiben:
2y+z=8
x+7y=35

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