Version vom 30. Januar 2013, 16:51 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe 12.02
2 Lösung User ...
3 Lösung User Caro44
4 Frage Hauler
- 4.1 Bemerkungen --*m.g.* 16:25, 30. Jan. 2013 (CET)

Aufgabe 12.02

Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.
Dass sich zwei Mittelsenkrechten eines Dreieck in genau einem Punkt schneiden dürfen Sie voraussetzen.

Lösung User ...

--Yellow 21:12, 26. Jan. 2013 (CET) Hallo ich bin mir nicht sicher ob wir hier sagen dürfen dass S=Mittelpunkt ist. Aber kann man ja mit Mittelsenkrchtenkriterium begründen

Lösung User Caro44

--Caro44 13:16, 30. Jan. 2013 (CET)

Frage Hauler

Stimmen mit Lösung von Caro44 überein. Frage die aufkam:

Wann nimmt man die Definition, wann nimmt man die Existenz und Eindeutigkeit ( in diesem Fall Mittelpunkt, Mittelsenkrechte), wann nimmt das Kriterium als Begründung?

Gedanken von uns: Im Beweis benutzen wir Definition nur, wenn Existenz und Eindeutigkeit bewiesen wurde. Kann man sich somit Existenz und Eindeutigkeit sparen und immer Definition schreiben? Weiter folgend kam diese Frage auch bei Definition oder Kriterium Mittelsenkrecht auf. Kriterium setzt sich ja aus beiden Definitionen zusammen!

--Hauleri 15:32, 30. Jan. 2013 (CET)

Bemerkungen --m.g. 16:25, 30. Jan. 2013 (CET)

Die Lösung von Yellow geht so nicht. Die Lösung von Caro44 ist verbesserungsbedürftig.

Wovon können wir ausgehen?

Wir haben ein Dreieck $\overline{ABC}$ und irgendwer hat schon gezeigt, dass die Mittelsenkrechten $m_a$ und $m_b$ einander im Punkt $M$ schneiden. Wir sollen jetzt zeigen, dass auch die dritte Mittelsenkrechte durch eben diesen Punkt geht. Dass jede Strecke genau eine Mittelsenkrechte hat, wissen wir bereits.

Was sollen wir zeigen

Behauptet wird, dass sich alle drei Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Zunächst zeiegen wir, dass sie sich in einem Punkt schneiden. Hierzu zeigen wir, dass auch die dritte Mittelsenkrechte $m_c$ durch $M$ geht. Wir müssen definitiv nicht zeigen, dass irgendeine Mittelsenkrechte überhaupt existiert. Wir müssen zeigen, dass die existierende Mittelsenkrechte $m_c$ auch durch $M$ geht. Anders ausgedrückt: Wir müssen zeigen, dass $M$ zu $m_c$ gehört.

Wie zeigen wir das

Weil $m_a$ Mittelsenkrechte von $a$ bzw. $\overline{BC}$ ist und $M$ zu $m_a$ gehört, gilt wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium: $|BM|=|CM|$
Weil $m_b$ Mittelsenkrechte von $b$ bzw. $\overline{AC}$ ist und $M$ zu $m_b$ gehört, gilt wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium: $|AM|=|CM|$
Nach (1) und (2) ist wegen der Drittengleichheit ist nun $|AM|=|BM|$ und damit $M$ wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums ein Punkt der Mittelsenkrechten von $c$ .

Was bleibt zu zeigen?

Wir sollten zeigen dass sich die Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Es bleibt also zu zeigen, dass $M$ der einzige Punkt aller drei Mittelsenkrechten ist.

Wie fast immer, der Highlanderbeweis wird indirekt geführt

Annahme: Es existiert ein von $M$ verschiedener Punkt $N$ der zu allen drei Mittelsenkrechten gehört.

Nach der Annahme wären alle unsere Mittelsenkrechten identisch. Warum? .................

Jetzt ergibt sich folgender Widerspruch: .......