Aufgabe 12.06

Beweisen Sie: Die Höhen eines Dreiecks (bzw. die Geraden, die durch die Höhen eindeutig bestimmt sind) schneiden einander in genau einem Punkt.
Hilfe: Es sei ein Dreieck. Von diesem Dreieck wissen Sie bereits, dass sich seine Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Konstruieren aus ein weiteres Dreieck, indem sie die drei Parallelen konstruieren, die sie erhalten, wenn sie die Parallele jeweils durch einen Eckpunkt von zur gegenüberliegenden Seite legen.

Lösung User Caro44

Skizze:

Beweis:

--Caro44 13:53, 30. Jan. 2013 (CET)

Lösung User B.....

geht es auch mit der Winkelkongruenz?

--B..... 22:59, 30. Jan. 2013 (CET)

Bemerkungen --*m.g.* 09:48, 31. Jan. 2013 (CET)

1. Das Parallelenaxiom können Sie nicht zur Begründung der Konstruktion der Parallelen verwenden. Grund: Das Parallelenaxiom fordert nicht die Existenz von Parallelen. Es bezieht sich lediglich auf die Eindeutigkeit der Parallelen. Bereits in der absoluten Geometrie können wir zeigen: Durch jeden Punkt außerhalb einer Geraden geht eine zu parallele Gerade . Was wir nicht beweisen können und deshalb axiomatisch fordern, ist die Tatsache, dass es höchstens eine solche Gerade geben kann.
2. Die korrekte Begründung der Parallelen muss also lauten: Existenz der Parallelen.
3. Die weitere Lösung ist nicht ganz korrekt begründet: Nur mit dem Wechselwinkelsatz werden Sie die Kongruenz der Winkel nicht begründen können, Sie werden auch den Stufenwinkelsatz einsetzen müssen. Die Kongruenz der äußeren Dreiecke zueinander kann man nur dadurch begründen, dass jedes äußere Dreieck jeweils zum inneren Dreieck nach SWS kongruent ist. Wegen der Transitivität der Relation Dreieckskongruenz sind jetzt die äußeren Dreiecke jetzt auch zueinander kongruent.
4. Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot von einem Eckpunkt auf die Gerade, die durch die gegenüberliegende Seite eindeutig bestimmt ist. Das bringt ein wenig Probleme bei der Formulierung. Mittelsenkrechten sind Geraden und können damit nicht identisch mit Höhen sein. Es geht aber schließlich darum, dass die Geraden, die durch die Höhen eindeutig bestimmt sind, mit den Mittelsenkrechten zusammenfallen. Hier sollten wir aber nicht päpstlicher als der Papst sein.

Alles in allem aber eine schöne Lösung.

Die Konstellation hier noch mal zum dynamischen Verändern: (A, B, C können verschoben werden)