Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 12 13 P): Unterschied zwischen den Versionen
Würmli (Diskussion | Beiträge) |
Würmli (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 9: | Zeile 9: | ||
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. | Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
| − | Beweis 2) | + | Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber. |
| + | |||
| + | |||
| + | Beweis 2) | ||
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br /> | Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br /> | ||
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. <br /> | Vor: |AC|< |BC| < |AB|. <br /> | ||
Beh: |α| ≠ |β|<br /> | Beh: |α| ≠ |β|<br /> | ||
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br /> | Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition. | ||
| + | |||
| + | |||
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br /> | b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br /> | ||
| + | |||
Beweis: | Beweis: | ||
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br /> | Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br /> | ||
Version vom 3. Februar 2013, 13:09 Uhr
Satz: In einem Dreieck 
mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)
Beweis 1)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.
Beweis 2)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.
b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.
Beweis:
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nehmen wir an |α| = |β|. Wenn |α| = |β| dann gilt |AC|= |BC| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht |AC|= |BC| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil |AC|= |BC|
|AC|< |BC|. Damit ist der Satz bewiesen.
