Drehungen (2012 13): Unterschied zwischen den Versionen

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'''Satz 6.2'''<br />
 
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Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel <math> \alpha </math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel <math> \beta </math> gilt: <math> | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|</math><br /><br />
 
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel <math> \alpha </math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel <math> \beta </math> gilt: <math> | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|</math><br /><br />
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Der Beweis müsste wie folgt laufen...
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Der Punkt C1 wurde an DZ gespiegelt. => Die roten Winkel sind kongruent. Nun spiegelt man an D'Z, wobei <math> \angle </math> DZD' = 1/2 <math> \alpha </math> => Die blauen Winkel sind kongruent. Diese Überlegung kann analog für B und A durchgeführt werden. Die beliebige Drehung ist somit die NAF von zwei Geradenspiegelungen mit dem Schnittwinkel <math> \beta </math>  <br />
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'''Satz 6.3'''<br />
 
'''Satz 6.3'''<br />
 
Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)</math><br /><br />
 
Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)</math><br /><br />

Version vom 5. Mai 2013, 20:53 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definitionsmöglichkeiten

Definition 1
Unter einer Drehung D_{Z, \alpha} um den Punkt Z mit dem Drehwinkel \alpha versteht man eine Abbildung \varphi der Ebene \epsilon auf sich, für die gilt:
1. Z ist Fixpunkt bezüglich \varphi
2. \forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)| mit A \in \epsilon und A \not\equiv Z
3. \forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha mit A \in \epsilon und A \not\equiv Z

Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.


Definition 2
Unter der Drehung D_{Z, \alpha} um den Punkt Z mit dem Drehwinkel \alpha versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen S_{a} und S_{b} mit a \cap b = {Z} und | \alpha | = 2| \angle (a,b)|

Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung D_{Z, \alpha}, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen S_{a} und S_{b} mit a \cap b = {Z} und | \alpha | = 2| \angle (a,b)| ist.


Definition 3
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.

Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.


--Jessy* 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)


Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung D_{Z, \alpha}

Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene \epsilon und D_{Z, \alpha} eine Drehung der Ebene \epsilon mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel \alpha.

Drehungen als Bewegungen

Satz 6.1
Jede Drehung ist eine Bewegung.

Sätze zu Drehungen

Satz 6.2
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel \alpha ist die NAF zweier Geradenspiegelungen S_g und S_h , deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel \beta gilt: | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|

Der Beweis müsste wie folgt laufen...




Der Punkt C1 wurde an DZ gespiegelt. => Die roten Winkel sind kongruent. Nun spiegelt man an D'Z, wobei \angle DZD' = 1/2 \alpha => Die blauen Winkel sind kongruent. Diese Überlegung kann analog für B und A durchgeführt werden. Die beliebige Drehung ist somit die NAF von zwei Geradenspiegelungen mit dem Schnittwinkel \beta

Satz 6.3
Die NAF zweier Geradenspiegelungen S_g und S_h , deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)

\rightarrow aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.

Satz 6.4
Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.
Tipp: Beweise den Satz: Die NAF S_h \circ S_g zweier Geradenspiegelungen S_g und S_h für die gilt: g \cap h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.

Satz 6.5
Jede von der Drehung mit 0°< | \alpha | <360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.

\rightarrow aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.

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