Quiz der Woche 7 SoSe 2013: Unterschied zwischen den Versionen

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{ Welche der folgenden Punktmengen sind auf jeden Fall konvex?}
 
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Aktuelle Version vom 8. Juni 2013, 17:03 Uhr

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1. Welche der folgenden Punktmengen sind auf jeden Fall konvex?

eine offene Halbgerade
→ Richtig! Da alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte der Halbgeraden auch auf dieser Halbgeraden liegen!
Schnitt einer offenen Halbebene \epsilon mit einer Halbgeraden, die mit \epsilon zwei Punkte gemeinsam hat.
→ Ja, auch das stimmt, denn nach einem bekannten Satz ist der Schnitt zweier konvexer Punktmengen auch wieder konvex.
Schnitt eines rechten Winkels mit einem spitzen Winkel
→ Haben Sie vielleicht an das Innere der Winkel gedacht? Das steht da aber nicht! Man kann die Winkel so anordnen, dass im Schnitt z. B. genau zwei Punkte enthalten sind. Die Punkte der Verbindungsstrecke dieser beiden Punkte sind dann offensichtlich nicht in der Schnittmenge. Ein Gegenbeispiel genügt hier.
Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind.
→ Stellen Sie sich z. B. zwei Drachen (oder beliebige andere Figuren) vor, die in einer Ebene nebeneinander liegen sich aber nicht berühren, d. h. keine gemeinsamen Schnittpunkte haben. Eine beliebige Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt des einen Drachen und einem Punkt des anderen Drachen besitzt dann immer Punkte, die aus der Vereinigungsmenge beider Drachen herausführen.

2. Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. Welche der folgenden Mengen sind Strecken?

\ AB^{+} \cap BA^{+}
→ Ja, super, das lässt sich zeichnerisch leicht verstehen.
\ AB^{-} \cap BA^{-}
→ da fehlt was in der "Mitte", oder?
\ AB geschnitten mit dem Kreis um \ A und \ B
→ Zwei verschiedene Schnittpunkte erzeugen noch keine Strecke!
\ AB \cap BA
→ nun, eine Gerade bleibt eine Gerade, wenn man sie mit sich selbst schneidet und eine Gerade ist eben keine Strecke.

3. Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, dann sind sie supplementär. Kennzeichnen Sie die Kontraposition dieser Implikation.

Zwei Winkel sind dann und nur dann Nebenwinkel, wenn sie supplementär sind.
→ aus der Implikation wurde eine Äquivalenz.
Nebenwinkel sind immer supplementär.
→ Hatten wir da nicht ein Axiom?
Wenn zwei Winkel supplementär sind, so sind sie Nebenwinkel.
→ nun haben wir den Satz umgekehrt.
Wenn zwei Winkel nicht supplementär sind, so sind sie auch keine Nebenwinkel.
→ richtig, bei der Kontraposition folgt aus der verneinten Behauptung die verneinte Voraussetzung des ursprünglichen Satzes.

4. Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, dann sind sie supplementär. Kennzeichnen Sie die Umkehrung dieser Implikation.

Zwei Winkel sind dann und nur dann Nebenwinkel, wenn sie supplementär sind.
→ aus der Implikation wurde eine Äquivalenz.
Nebenwinkel sind immer supplementär.
→ Hatten wir da nicht ein Axiom?
Wenn zwei Winkel supplementär sind, so sind sie Nebenwinkel.
→ nun haben wir den Satz umgekehrt.
Wenn zwei Winkel nicht supplementär sind, so sind sie auch keine Nebenwinkel.
→ das ist die Kontraposition.

5. Welche der folgenden Definitionen beschreiben den jeweils zu definierenden Begriff wirklich korrekt?

Unter einem Dreieck \overline{ABC} versteht man die Vereinigungsmenge der drei Strecken \overline{AB} , \overline{BC} und \overline{AC} .
→ es fehlt noch die Voraussetzung, dass die drei Punkte \ A , \ B und \ C nicht kollinear sind.
Ein n-Eck mit drei Ecken ist ein Dreieck.
→ auch ein Viereck hat drei Ecken, nur nicht genau drei Ecken. Wie so ein kleines Wort (genau) eine so große Bedeutung haben kann!
Ein Dreieck mit einem Umkreis heißt Sehnendreieck.
→ Auch wenn diese Definition nicht gerade sinnvoll ist, da ja jedes Dreieck einen Umkreis hat, ist diese Definition trotzdem korrekt!
Ein Dreieck, das zwei Basiswinkel hat ist ein gleichseitiges Dreieck.
→ auch gleichschenklige Dreiecke haben zwei Basiswinkel und sind nicht unbedingt gleichseitig.

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