Übungen 09: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | <math> | + | Sei <math>B=(v_1, v_2 .... v_r)</math>Basis und <math>b=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n</math>. Falls <math>\lambda_k \neq 0 </math> ist (für ein <math> k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n)</math>, so ist auch die Menge <math> B'=\{v_1,... v_{k-1}, b, v_{k+1}..., v_n\}</math> eine Basis von V. |
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| − | + | Beweisen Sie das Lemma. | |
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| + | (Veranschaulichen Sie das Lemma mit einem konkreten Beispiel.) | ||
==Aufgabe 7== | ==Aufgabe 7== | ||
Aktuelle Version vom 9. Juli 2013, 09:18 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass die Vektoren 
, 
, 
und 
linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.
Aufgabe 2
a) Prüfen Sie, ob die Vektoren 
und 
ein Erzeugendensystem von
bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche 
die Vektoren 
linear abhängig in sind.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
Gilt 
?
Aufgabe 4
Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) 
b)
Aufgabe 5
Sei V ein reeler Vektorraum und 
. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
, 
, 
, 
, 
, 
Aufgabe 6
Austauschlemma:
Sei 
Basis und 
. Falls 
ist (für ein 
, so ist auch die Menge 
eine Basis von V.
Beweisen Sie das Lemma.
(Veranschaulichen Sie das Lemma mit einem konkreten Beispiel.)
Aufgabe 7
Konstruieren Sie eine Basis für den von
erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von 
.
