Lösung von Zusatzaufgabe 11.1P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
(Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie Satz IX.1:<br /> Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a…“) |
(table+) |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Beweisen Sie Satz IX.1:<br /> | Beweisen Sie Satz IX.1:<br /> | ||
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''.<br /> | Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''.<br /> | ||
| − | [[Kategorie:Einführung_P]] | + | [[Kategorie:Einführung_P]]<br /> |
| + | |||
| + | Voraussetzung:<br /> | ||
| + | Sa∘Sb mit a ∩ b = {S}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:45, 12. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
| + | |||
| + | Behauptung:<br /> | ||
| + | P''(zweistrich)= Sa∘Sb(P)<br /> | ||
| + | mit P ∧ P'' (zweistrich) ∈ Kreis (k) um S<br /> | ||
| + | d.h.: |PS| ≌ |P'' (zweistrich)S|--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:45, 12. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | {| class="wikitable " | ||
| + | |- style="background: #DDFFDD;" | ||
| + | ! | ||
| + | ! Beweisschritt | ||
| + | ! Begründung | ||
| + | |- | ||
| + | | 1) | ||
| + | | |PS| ≌ |P'S| | ||
| + | mit P' = Sa(P) | ||
| + | | Streckentreue der GS; Voraussetzung | ||
| + | |- | ||
| + | | 2) | ||
| + | | |P'S| ≌ |P'' (zweistrich)S| | ||
| + | mit P'' (zweistrich) = Sa(P') | ||
| + | | (1); Streckentreue der GS; Voraussetzung | ||
| + | |- | ||
| + | | 3) | ||
| + | | |PS| ≌ |P'' (zweistrich)S| | ||
| + | | (1); (2); Transitivität der Streckenkongruenz | ||
| + | |- | ||
| + | | 4) | ||
| + | | P ∧ P'' (zweistrich) ∈ k um S | ||
| + | | (1); (2); (3); Voraussetzung | ||
| + | |}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:45, 12. Jul. 2013 (CEST) | ||
Version vom 12. Juli 2013, 14:45 Uhr
Beweisen Sie Satz IX.1:
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden a und b mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S. Wir betrachten die Verkettung 
. Jeder Punkt P liegt dabei mit seinem Bildpunkt 
auf einem Kreis k um S.
Voraussetzung:
Sa∘Sb mit a ∩ b = {S}--Nolessonlearned 15:45, 12. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
P(zweistrich)= Sa∘Sb(P)
mit P ∧ P (zweistrich) ∈ Kreis (k) um S
d.h.: |PS| ≌ |P (zweistrich)S|--Nolessonlearned 15:45, 12. Jul. 2013 (CEST)
| Beweisschritt | Begründung | |
|---|---|---|
| 1) | PS| ≌ |P'S|
mit P' = Sa(P) |
Streckentreue der GS; Voraussetzung |
| 2) | P'S| ≌ |P (zweistrich)S|
mit P (zweistrich) = Sa(P') |
(1); Streckentreue der GS; Voraussetzung |
| 3) | PS| ≌ |P (zweistrich)S| | (1); (2); Transitivität der Streckenkongruenz |
| 4) | P ∧ P (zweistrich) ∈ k um S | (1); (2); (3); Voraussetzung |
