Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen

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Zeichne einen Strahl BA⁺. Zeichne einen weiteren, von BA⁺ verschiedenen Strahl, BC⁺ mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie BA⁺. Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius r = |B͞D| = |B͞E|, r > 0. Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: {M} = p ∩ l ≠ B. Zeichne nun den Strahl BM⁺. Zeichne die Strecke D͞E ein. Zeichne nun den Punkt P ein mit der folgenden Bedingung: {P} = D͞E ∩ BM⁺.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST)<br />
 
Zeichne einen Strahl BA⁺. Zeichne einen weiteren, von BA⁺ verschiedenen Strahl, BC⁺ mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie BA⁺. Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius r = |B͞D| = |B͞E|, r > 0. Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: {M} = p ∩ l ≠ B. Zeichne nun den Strahl BM⁺. Zeichne die Strecke D͞E ein. Zeichne nun den Punkt P ein mit der folgenden Bedingung: {P} = D͞E ∩ BM⁺.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST)<br />
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2) Beweis
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'''Voraussetzung''':<br />
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D͞E ≔ {D} = BC⁺ ∩ k ∧ {E} = BA⁺ ∩ k<br />
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mit k ≔ {P | |PB| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}<br />
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{M} = p ∩ l ≠ B<br />
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mit p,l ≔ {P | |PD| = |PE| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}<br />
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{P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
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'''Behauptung''':<br />
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P ist Mittelpunkt von D͞E<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
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! Beweisschritt
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| 1)
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| {P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E
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| Voraussetzung, Konstruktion
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Mittelsenkrechte
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| 2)
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| |BD| = |BE|
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| Voraussetzung;
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Mittelsenkrechtenkriterium
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| 3)
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| |DP| = |PE|
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| (1); (2); Def. Mittelsenkrechte
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| 4)
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| P ist Mittelpunkt von D͞E
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| (1); (3); Def. Mittelsenkrechte
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|}<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)

Version vom 14. Juli 2013, 16:33 Uhr

  1. Gegeben sei ein Winkel \angle ABC und ein Punkt P im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels \angle ABC liegt. Konstruieren Sie eine Strecke \overline{DE} deren Endpunkte D und E jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels \angle ABC liegen und P Mittelpunkt der Strecke \overline{DE} ist.
  2. Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.

1) Konstruktion

Zeichne einen Strahl BA⁺. Zeichne einen weiteren, von BA⁺ verschiedenen Strahl, BC⁺ mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie BA⁺. Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius r = |B͞D| = |B͞E|, r > 0. Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: {M} = p ∩ l ≠ B. Zeichne nun den Strahl BM⁺. Zeichne die Strecke D͞E ein. Zeichne nun den Punkt P ein mit der folgenden Bedingung: {P} = D͞E ∩ BM⁺.--Nolessonlearned 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST)

2) Beweis

Voraussetzung:
D͞E ≔ {D} = BC⁺ ∩ k ∧ {E} = BA⁺ ∩ k
mit k ≔ {P | |PB| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}

{M} = p ∩ l ≠ B
mit p,l ≔ {P | |PD| = |PE| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}

{P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
P ist Mittelpunkt von D͞E
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)

Beweisschritt Begründung
1) {P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E Voraussetzung, Konstruktion

Mittelsenkrechte

2) BD| = |BE| Voraussetzung;

Mittelsenkrechtenkriterium

3) DP| = |PE| (1); (2); Def. Mittelsenkrechte
4) P ist Mittelpunkt von D͞E (1); (3); Def. Mittelsenkrechte

--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
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