Lösung von Aufg. 11.03 SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

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===Eindeutigkeit===
 
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Es sei <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf <math>g</math>. Annahme: <math>\overline{PA}</math> mit <math>A \not = L</math> ist auch Lot von <math>P</math> auf <math>g</math>. Dann hätte das Dreieck <math>\overline{PLA}</math> zwei rechte Innenwinkel, was ein Widerspruch zu den Folgerungen aus dem schwachen Außenwinkelsatz ist.
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Es sei <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf <math>g</math>. Annahme: <math>\overline{PA}</math> mit <math>A \not = L</math> ist auch Lot von <math>P</math> auf <math>g</math>. Dann hätte das Dreieck <math>\overline{PLA}</math> zwei rechte Innenwinkel, was ein Widerspruch zu den Folgerungen aus dem schwachen Außenwinkelsatz ist.<br /><br />--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:48, 18. Jul. 2013 (CEST)<br />
 
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Aktuelle Version vom 18. Juli 2013, 23:48 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 11.03

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade.


Lösung

Existenz

Lot.png

EXISTENZ
Beweisschritt Begründung
(I) Konstruiere einen Punkt N auf g.
Fall 1: Falls P1N \perp g, dann ist \overline{P1N} unser Lot.
Fall 2: P1N \not\perp g, dann weiter mit (II) 		Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
(II) Antragen von \alpha1: \alpha1 \tilde= \alpha2 Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
(III) Antragen von |NP|1: |NP1| \tilde=\ |NP2| Konstruktion, Axiom vom Lineal
(IV) Antragen von |NL| \tilde=\ |NL| trivial
(V) \overline{LNP1} \tilde=\ \overline{LNP2} (II), (III), (IV), SWS
(VI) \angle NLP1 \tilde=\ \angle NLP2 beides rechte Winkel --> \overline{PN} ist Lot auf g.


Dieser Beweis wurde im SoSe 2010 von Studierenden selbständig im Wiki erbracht. --*m.g.* 23:44, 18. Jul. 2013 (CEST)

Eindeutigkeit

Es sei \overline{PL} das Lot von P auf g. Annahme: \overline{PA} mit A \not = L ist auch Lot von P auf g. Dann hätte das Dreieck \overline{PLA} zwei rechte Innenwinkel, was ein Widerspruch zu den Folgerungen aus dem schwachen Außenwinkelsatz ist.

--*m.g.* 23:48, 18. Jul. 2013 (CEST)
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