Sätze und Beweise WS 13/14: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. Dezember 2013, 09:28 Uhr

Implikationen

Wechselwinkelsatz:
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen parallelen Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine Voraussetzung (A) und eine Behauptung (B) aufteilen.
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein.
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun:
formal:

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung:
formal:

Aufgabe: Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:

• Haben 2 Geraden, die beide von einer dritten geschnitten werden, konkruente Wechselwinkel, so sind sie parallel zueinander. --RoteBeere 17:56, 28. Nov. 2013 (CET)
  • Sehr gut!--Tutorin Anne (Diskussion) 09:27, 3. Dez. 2013 (CET)

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben:

Aufgabe: Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:

• Genau dann wenn 2 Geraden parallel sind und von einer dritten geschnitten werden, sind ihrer Wechselwinkel konkruent.--RoteBeere 17:56, 28. Nov. 2013 (CET)
  • Ebenfalls richtig. Oder auch so wie bei deiner Umkehrung: Genau dann wenn zwei Geraden, die von einer dritten geschnitten werden, parallel sind, sind ihrer Wechselwinkel konkruent.--Tutorin Anne (Diskussion) 09:27, 3. Dez. 2013 (CET)

notwendige und hinreichende Bedingung

An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: hinreichende und notwendige Bedingung
Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern:
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell.
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet) Behauptung (Das Zimmer ist hell).
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell.
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu.
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Man spricht in diesem Zusammenhang dann auch von einem Kriterium (hinreichende und notwendige Bedingung). Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung und damit ein Kriterium für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung und damit ein Kriterium für die Voraussetzung.
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren.

Beweise

Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden.
Grundsätzlich unterscheidet man direkte von indirekten Beweisen. Außerdem gibt es noch so genannte Induktionsbeweise (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip).

Direkter Beweis
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.:


Indirekter Beweis
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man Widerspruchsbeweise (1) von Beweisen durch Kontraposition (2).

1. Widerspruchsbeweis:
   Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz).
   (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
2. Beweis durch Kontraposition:
   Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus:
   
   (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
   Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen.
   
   

Aufgabe: Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.

• Sind die Wechselwinkel nicht kongruent zueinander, so sind die 2 Geraden die von einer dritten geschnitten werden nicht parallel. Stimmt das so? --Der Kuckuck (Diskussion) 20:46, 9. Dez. 2013 (CET)
• Die Idee ist korrekt, die Formulierung eher ungünstig. Es kommt in diesem Satz nicht heraus, dass die Wechselwinkel etwas mit den Geraden zu tun haben. Es ist besser zunächst einen allgemeinen Satz zu schreiben, in dem die Ausgangslage erklärt wird und dann die Kontraposition z.B. im Wenn-Dann-Format zu formulieren.
• z.B. Es seinen a und b zwei Geraden, die von einer dritten Gerade c geschnitten werden. α und β sind zwei Wechselwinkel, die bei diesem Schnitt entstehen. ...--Tutorin Anne (Diskussion) 09:28, 12. Dez. 2013 (CET)