Benutzer:Matheschüler: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 2. Mai 2014, 20:44 Uhr

(1) (2)

Bild (1) und Bild (2) haben die Gemeinsamkeit, dass sie beide einen Kegelstumpf zeigen.
(1) von schräg unten
(2) von schräg oben

Die Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes beläuft sich auf die Subtraktion der Kegelspitze vom fiktiven Gesamtkegel.
Hierbei gilt als Volumenformel für den Kegel: Grundfläche des Kegels multipliziert mit der Höhe des Kegels geteilt durch drei.
Kegel: $G_{K} \cdot h_{0} \cdot \frac{1}{3}$
analog gilt für die Spitze: $G_{S} \cdot h_{1} \cdot \frac{1}{3}$
Die Höhe wiederum lässt sich mithilfe der Winkelfunktionen berechnen. Es gilt hier
$h_{0} = \sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}}$
Der Winkel $\alpha$ ist der Neigungswinkel zwischen dem Mantel des Kegels und der Grundfläche.
Den Radius des ausgebreiteten Mantels (also die Hypothenuse des zur Hilfe gezogenen rechtwinkligen Dreiecks) habe ich mit $r_{M_{0}}$ bezeichnet.

Am Ende erhalten wir also eine allgemeine Formel

$V = G_{K} \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}}) \cdot \frac{1}{3} - G_{S} \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{1}}) \cdot \frac{1}{3}$

oder besser:

$V = (r_{G_{K}}^2 \cdot \pi) \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}}) \cdot \frac{1}{3} - (r_{G_{S}}^2 \cdot \pi) \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{1}}) \cdot \frac{1}{3}$

und in kurz:

$V = \frac{\sin(\alpha) \cdot \pi}{3} \cdot (r_{G_{K}}^2 \cdot r_{M_{0}} - r_{G_{S}}^2 \cdot r_{M_{1}})$

Bild (2) zeigt übrigens auch noch Quader und einen Zylinder.

uff... wirklich anstrengend so was zu schreiben. zu viele Zeichen

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