Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 14): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. Mai 2014, 16:56 Uhr

Satz: In einem Dreieck mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

  Beweis 1: Der Basiswinkelsatz sagt nicht, dass |AC|  ≠ |BC|, deshalb ist der Beweis nicht korrekt. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)
  Beweis 2: Dies ist ein korrekter Beweis durch Kontraposition. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

  Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|
  Beh:  |α|  ≠ |β|
  Annahme: |α|  = |β|
  Basiswinkelsatz: |AC|  = |BC|
  --> Deshalb ist die Annahme falsch. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)

Mein Versuch:
Vor.: |AC|< |BC| < |AB|
Beh.: |α| ≠ |β|
Annahme: |α| = |β|
Beweis:

Dein Beweis Picksel beinhaltet den selben Fehler wie Beispiel 1 oben (Es ist im Prinzip der Beweis 1 in schöner Tabellenform). Du verwendest die Annahme selbst nicht (du nennst sie nur) und begründest dann mit dem Stufenwinkelsatz eine Aussage, die nicht im Stufenwinkelsatz enthalten ist.--Tutorin Anne (Diskussion) 16:47, 14. Mai 2014 (CEST)
Klar,du hast Recht. Keine Ahnung warum ich Stufenwinkelsatz angegeben habe. Meinte den Basiswinkelsatz eigentlich, sorry.--Picksel (Diskussion) 17:56, 18. Mai 2014 (CEST)

Nächster Versuch:


Vor.: |AC|<|BC|<|AB|


Beh.: |α|≠|β|


Annahme:|α|=|β|



Beweis mit Wiederspruch:


Nehmen wir an das |α|=|β| gilt. Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes besagt: Wenn |α|=|β| dann gilt auch |AC|=|BC|.
Damit unsere Annahme wahr ist muss die Umkehrung des Basiswinkelsatzes, wenn |α|=|β| dann gilt auch |AC|=|BC|, wahr sein. Unserer 
Voraussetzung zufolge aber: |AC|<|BC|, d.h. |AC|≠|BC|. Damit ist unsere Annahme falsch und im Wiederspruch zu unserer Voraussetzung. 
Daraus folgt das die Behautung |a|≠|β| wahr ist. --Shaman (Diskussion) 16:13, 18. Mai 2014 (CEST)

Mein 2-er Versuch:

Vor.: |AC|< |BC| < |AB|
Beh.: |α| ≠ |β|
Annahme: |α| = |β|
Beweis durch Wiederspruch:

1) |AC|≠|BC| -Voraussetzung
2) |α| = |β| - Annahme
3) |α| = |β| => |AC|=|BC| - Basiswinkelsatz
4) |AC|≠|BC| => |α| ≠ |β| - Die Annahme war falsch, daraus folgt, dass die Behauptung richtig ist. --Picksel (Diskussion) 17:56, 18. Mai 2014 (CEST)