Der schwache Außenwinkelsatz: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 8. Juli 2010, 20:49 Uhr

schwacher Außenwinkelsatz?

In der Vorlesung wurde angedeutet, dass es im Rahmen der absoluten Geometrie nicht möglich ist, den Satz über die Summe der Größen der Innenwinkel eines Dreiecks zu beweisen. Wenn es richtig ist, was in der Vorlesung gesagt wurde, dann dürfte es in der absoluten Geometrie auch nicht möglich sein, den sogenannten starken Außenwinkelsatz zu beweisen. Die folgende Applikation demonstriert den starken Außenwinkelsatz:

Egal, wie wir unser Dreieck wählen, es gilt immer .

Allgemeiner formuliert:
Für jedes Dreieck gilt: Die Größe eines jeden Außenwinkels ist immer gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel des Dreiecks, die zu dem jeweiligen Außenwinkel keine Nebenwinkel sind.

Wie bereits erwähnt, gilt der starke Außenwinkelsatz im Rahmen der absoluten Geometrie nicht. Es gilt jedoch der sogenannte schwache Außenwinkelsatz. Dieser ist selbstverständlich im starken Außenwinkelsatz aufgehoben.

Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz)

Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

Für den Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes formulieren wir zunächst ein Lemma.

Lemma 2

Wenn ein Punkt im Inneren des Winkels liegt, dann liegt der gesamte Strahl im Inneren des Winkels .

Hinsichtlich des Beweises von Lemma 2 verweisen wir auf das alte Skript (Geschichten aus dem Inneren).

Beweis von Satz VIII.1

Hilfskonstruktion

--Heinzvaneugen 10:12, 8. Jul. 2010 (UTC)

Danke --*m.g.* 19:37, 8. Jul. 2010 (UTC)

Der letztendliche Beweis

Es bleibt zu zeigen: , wobei wir in diesem Fall das offene Innere von meinen.

Das offene Innere von ist der Schnitt zweier offener Halbebenen .

Der Punkt würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels liegen,
wenn er in Halbenbene
oder
in der Halbebene liegen würde.