Elementare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Steigung)
(→‎Spezielle Funktionswerte)
Zeile 116: Zeile 116:
 
==Graphen der Funktionen sin und cos==
 
==Graphen der Funktionen sin und cos==
 
==Spezielle Funktionswerte==
 
==Spezielle Funktionswerte==
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! α !! 0° !! 30° !! 45° !! 60° !! 90°
 +
|-
 +
| sin α|| 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{3}</math> || 1
 +
|-
 +
| cos α || 1 || <math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{3}</math> ||<math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math>  || 0
 +
|-
 +
| tan α || 0  || <math>\frac{1}{3}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{3}</math> ||1|| <math>\sqrt{3}</math> || -
 +
|}
 
===30°===
 
===30°===
 
===45°===
 
===45°===
 
===60°===
 
===60°===
 +
[[Datei:Gleichseitiges Dreieck.jpg|thumb|Erstellt mit Geogebra]]
  
−
[[Kategorie:PV]]
+
Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte.

Version vom 24. April 2017, 18:48 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe ~~~h_0
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag) ~~~v_0
Abwurfwinkel ~~~\alpha

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t

y-Komponente

Es addieren sich:

  1. y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t
  2. Fallbewegung nach unten: y_f=\frac{g}{2}t^2
  3. Damit y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2
  4. Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}

Experimentierumgebung

[ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]

Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe h_0 bei x=18m auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix} eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) y=ax^2+bx+c. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Elemente der Mengenlehre

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}
y=x^2

Relationen

Ordnungsrelationen

Äquivalenzrelationen

Funktionen als spezielle Relationen

Links-rechts eindeutig-total.svg

Linkstotal

\forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R

Rechtseindeutig

\forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2

Eineindeutige Funktionen

Umkehrfunktion

Lineare Funktionen

proportionale Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

[ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]

  • Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
  • Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
  • Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.


Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte (x_1, f(x_1)) und (x_2, f(x_2)) wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.


Gegeben seien zwei Punkte:


P_1(x_1, f(x_1)) und P_2(x_2, f(x_2))


a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}


a=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}


\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} | \cdot{(x-x_1)} +f(x_1)


f(x)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{(x-x_1)} + f(x_1)


f(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} - \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)


\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} → a


-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1) → dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.


Somit ergibt sich: f(x)=a\cdot{x} - b

Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen

ax+by+c=0

quadratische Funktionen

Parabeln

Parabel als Ortskurve

Parabel als Funktion

Scheitelpunktslage

auf x-Achse verschoben

mit beliebigem Vektor verschoben

Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

[ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]

Graphen der Funktionen sin und cos

Spezielle Funktionswerte

α 0° 30° 45° 60° 90°
sin α 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} 1
cos α 1 \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \frac{1}{2} 0
tan α 0 \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} 1 \sqrt{3} -

30°

45°

60°

Erstellt mit Geogebra

Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte.

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Elementare_Funktionen&oldid=29236“