Lösung von Aufgabe 12.2: Unterschied zwischen den Versionen

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Definition spitzer Winkel: Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel. Definition korrekt? (Diskussion)
 
Definition spitzer Winkel: Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel. Definition korrekt? (Diskussion)
 
<br />Voraussetzung: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>
 
<br />Voraussetzung: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>
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<br />Behauptung: (o.B.d.A)
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<br />Behauptung:
 
<br />Der Einfachheit halber werden die Winkel mit <math>\alpha \ \beta \ \gamma</math> bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann <math>\alpha' \ \beta' \ \gamma'</math>. Es gilt entweder....
 
<br />Der Einfachheit halber werden die Winkel mit <math>\alpha \ \beta \ \gamma</math> bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann <math>\alpha' \ \beta' \ \gamma'</math>. Es gilt entweder....
 
::(1) <math>|\alpha| \ < 90 \land |\beta| \ < 90</math>  
 
::(1) <math>|\alpha| \ < 90 \land |\beta| \ < 90</math>  
 
::oder (2) <math>|\beta| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90</math>
 
::oder (2) <math>|\beta| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90</math>
 
::oder (3) <math>|\alpha| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90</math>  
 
::oder (3) <math>|\alpha| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90</math>  
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<br />Indirekter Beweis. Es gilt entweder....
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<br />Indirekter Beweis.  
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<br />Annahme: Es gilt entweder....
 
::(1) <math>|\alpha| \ \ge 90 \land |\beta| \ \ge 90</math>  
 
::(1) <math>|\alpha| \ \ge 90 \land |\beta| \ \ge 90</math>  
 
::oder (2) <math>|\beta| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90</math>
 
::oder (2) <math>|\beta| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90</math>
 
::oder (3) <math>|\alpha| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90</math>
 
::oder (3) <math>|\alpha| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90</math>
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Anmerkung 1: Der Fall (3) wird in diesem Beweis ausgeklammert, kann aber (deswegen o.B.d.A) in einer analogen Beweisführung über die Winkel <math>|\alpha| \ </math> oder <math>|\gamma| \ </math> in Beweisschritt 1 ebenso angewandt werden.
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Anmerkung: Man muss natürlich aus <math>\ < </math>in der Behauptung <math>\ \ge</math> in der Annahme machen, denn spitze Winkel sind KLEINER ALS rechte Winkel. Rechte Winkel selbst zählen somit nicht zur möglichen Menge der spitzen Winkel. In der zu widerlegenden Annahme geht man somit von allen möglichen Fällen aus, also auch von dem Fall, dass zwei rechte Winkel in einem Dreieck möglich sind. Somit ist eine Umformulierung des Korollars: "In jedem Dreieck gibt es höchstens einen rechten Winkel." Dies wird durch den Beweis gleich mit bewiesen! (Oder doch nicht? --> Diskussion)
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Anmerkung 2: Man muss natürlich aus <math>\ < </math>in der Behauptung <math>\ \ge</math> in der Annahme machen, denn spitze Winkel sind KLEINER ALS rechte Winkel. Rechte Winkel selbst zählen somit nicht zur möglichen Menge der spitzen Winkel. In der zu widerlegenden Annahme geht man somit von allen möglichen Fällen aus, also auch von dem Fall, dass zwei rechte Winkel in einem Dreieck möglich sind. Somit ist eine Umformulierung des Korollars: "In jedem Dreieck gibt es höchstens einen rechten Winkel." Dies wird durch den Beweis gleich mit bewiesen! (Oder doch nicht? --> Diskussion)
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<br />Annahme
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<br />[[Bild:Skizze_Übung_12_2.png]]
 
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| Wenn gilt (2) <math>|\beta| \ \ge 90</math> und <math>|\gamma| \ \ge 90</math> muss <math>|\gamma| + |\beta| \ < 180</math> verworfen werden.
 
| Wenn gilt (2) <math>|\beta| \ \ge 90</math> und <math>|\gamma| \ \ge 90</math> muss <math>|\gamma| + |\beta| \ < 180</math> verworfen werden.
 
| Annahme, (V)  
 
| Annahme, (V)  
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| Es gilt: <math>|\beta| \ < |\alpha'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\alpha'|</math>
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| schwacher Außenwinkelsatz
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| Wenn gilt (3) <math>|\alpha| \ \ge 90</math> und <math>|\gamma| \ \ge 90</math> muss <math>|\alpha| + |\gamma| \ < 180</math> verworfen werden.
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| Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (VII)
 
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<br />Annahme muss verworfen werden.
 
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 21:48, 11. Jul. 2010 (UTC)
 
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 21:48, 11. Jul. 2010 (UTC)

Version vom 12. Juli 2010, 02:32 Uhr

Aufgabenstellung

Beweisen Sie:
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Lösung 1

Definition spitzer Winkel: Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel. Definition korrekt? (Diskussion)
Voraussetzung: Dreieck \overline {ABC}
Behauptung:
Der Einfachheit halber werden die Winkel mit \alpha \ \beta \ \gamma bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann \alpha' \ \beta' \ \gamma'. Es gilt entweder....

(1) |\alpha| \ < 90 \land |\beta| \ < 90
oder (2) |\beta| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90
oder (3) |\alpha| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90


Indirekter Beweis.
Annahme: Es gilt entweder....

(1) |\alpha| \ \ge 90 \land |\beta| \ \ge 90
oder (2) |\beta| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90
oder (3) |\alpha| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90

Anmerkung: Man muss natürlich aus \ < in der Behauptung \ \ge in der Annahme machen, denn spitze Winkel sind KLEINER ALS rechte Winkel. Rechte Winkel selbst zählen somit nicht zur möglichen Menge der spitzen Winkel. In der zu widerlegenden Annahme geht man somit von allen möglichen Fällen aus, also auch von dem Fall, dass zwei rechte Winkel in einem Dreieck möglich sind. Somit ist eine Umformulierung des Korollars: "In jedem Dreieck gibt es höchstens einen rechten Winkel." Dies wird durch den Beweis gleich mit bewiesen! (Oder doch nicht? --> Diskussion)
Skizze Übung 12 2.png

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es gilt: |\alpha| \ < |\beta'| und |\gamma| \ < |\beta'| schwacher Außenwinkelsatz
(II) |\beta| \ + |\beta'| = 180 Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
(III) \ |\beta'| = 180 - |\beta| (II) Algebraische Umformung
(IV) |\alpha| \ < 180 - |\beta| und |\gamma| \ < 180 - |\beta| (I), (III)
(V) |\alpha| + |\beta|\ < 180 und |\gamma| + |\beta| \ < 180 (IV) Algebraische Umformung
(VI) Wenn gilt (1) |\alpha| \ \ge 90 und |\beta| \ \ge 90 muss |\alpha| + |\beta|\ < 180 verworfen werden. Annahme, (V)
(VII) Wenn gilt (2) |\beta| \ \ge 90 und |\gamma| \ \ge 90 muss |\gamma| + |\beta| \ < 180 verworfen werden. Annahme, (V)
(VIII) Es gilt: |\beta| \ < |\alpha'| und |\gamma| \ < |\alpha'| schwacher Außenwinkelsatz
(IX) Wenn gilt (3) |\alpha| \ \ge 90 und |\gamma| \ \ge 90 muss |\alpha| + |\gamma| \ < 180 verworfen werden. Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (VII)


Annahme muss verworfen werden. --Heinzvaneugen 21:48, 11. Jul. 2010 (UTC)

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