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| | b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen. | | b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen. |
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| − | [[Lösung von Aufgabe 4.1 (WS_17_18)]]
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| − | ==Aufgabe 4.2==
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| − | '''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
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| − | '''<br /><br />
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| − | '''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />
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| − | Beweis 1)
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| − | Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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| − | Vor: |AC|< |BC| < |AB|. <br />
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| − | Beh: |α| ≠ |β|<br />
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| − | Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
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| − | <br /><br />
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| − | Beweis 2)
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| − | Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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| − | Vor: |AC|< |BC| < |AB|. <br />
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| − | Beh: |α| ≠ |β|<br />
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| − | Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
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| − | b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />
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| − | [[Lösung von Aufgabe 4.2 (WS_17_18)]]
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| − | ==Aufgabe 4.3==
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| − | a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).<br />
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| − | b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?<br />
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| − | #<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
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| − | #<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
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| − | #<math>\left|\alpha \right|\not= \left| \beta \right| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
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| − | #<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
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| − | [[Lösung von Aufgabe 4.3 (WS_17_18)]]
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| − | ==Aufgabe 4.4==
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| − | Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
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| − | a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />
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| − | b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
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| − | [[Lösung von Aufgabe 4.4 (WS_17_18)]]
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| − | ==Aufgabe 4.5==
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| − | Vergleichen Sie die Wahrheitswerte von<br />
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| − | <math>(\ A \Rightarrow B) </math> und <math>(\ A \wedge \neg B)</math>.<br />
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| − | Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Ihrer Wahrheitstabelle und dem indirekten Beweis durch Widerspruch.<br />
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| − | [[Lösung von Aufgabe 4.5 (WS_17_18)]]
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| | [[Category:Geo_P]] | | [[Category:Geo_P]] |
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes?
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen.
