Gruppendefinition (kurz): Unterschied zwischen den Versionen

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(Satz 2)
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Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
 
Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.
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Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.<br />
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Wir gehen von <math>(I) e \otimes g = g</math>.<br />
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In Gleichung <math>(I)</math> multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit <math>g^{-1}\otimes g</math> und erhalten <math>(II)</math>.<br />
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<math>(II) e \otimes g \otimes  (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)</math>.<br />
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Aus <math>(II)</math> folgt:<br />
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<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.
 
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Version vom 25. November 2017, 13:13 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Linksinvers gleich Rechtsinvers

Satz 1

Es sei [G, \odot] eine Gruppe.
\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c

Beweis von Satz 1

Es sei b das Linksinverse bzgl. \odot von a.
Wir multiplizieren b von rechts mit a:

(I) a \odot b = e \odot a \odot b (Wir haben a mit b von rechts multipliziert
(II) a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b (Auch b hat ein Linksinverses b^{-1}
(III) a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b (Assoziativität)
(IV) a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b (b ist das Linksinverse von a)
(V) a \odot b = b^{-1} \odot b (Eigenschaften des Einselements)
(VI) a \odot b = e (b^{-1} ist das Linksinverse von b

Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von a auch Rechtsinverses von a ist.

Linkseins gleich Rechtseins

Satz 2

Es sei [G, \otimes] eine Gruppe. Wenn e \in G von links multipliziert Einselement von [G, \otimes] ist, dann ist e auch von rechts multipliziert Einselement von G.

Beweis von Satz 2

Es sei [G, \otimes] Gruppe. Es gelte ferner für das Element e \in G die folgende Eigenschaft: \forall g \in G: e \otimes g = g.
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch g \otimes e = g für alle g aus G gilt.
Wir gehen von (I) e \otimes g = g.
In Gleichung (I) multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit g^{-1}\otimes g und erhalten (II).
(II) e \otimes g \otimes  (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g).
Aus (II) folgt:
(III) e \otimes g = g \otimes e q,e.d.