Version vom 25. November 2017, 13:13 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Linksinvers gleich Rechtsinvers
- 1.1 Satz 1
- 1.2 Beweis von Satz 1
2 Linkseins gleich Rechtseins
- 2.1 Satz 2
- 2.2 Beweis von Satz 2

Linksinvers gleich Rechtsinvers

Satz 1

Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe.
$\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c$

Beweis von Satz 1

Es sei $b$ das Linksinverse bzgl. $\odot$ von $a$ .
Wir multiplizieren $b$ von rechts mit $a$ :

(I)	$a \odot b = e \odot a \odot b$	(Wir haben $a$ mit $b$ von rechts multipliziert
(II)	$a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b$	(Auch $b$ hat ein Linksinverses $b^{-1}$
(III)	$a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b$	(Assoziativität)
(IV)	$a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b$	( $b$ ist das Linksinverse von $a$ )
(V)	$a \odot b = b^{-1} \odot b$	(Eigenschaften des Einselements)
(VI)	$a \odot b = e$	( $b^{-1}$ ist das Linksinverse von $b$

Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von $a$ auch Rechtsinverses von $a$ ist.

Linkseins gleich Rechtseins

Satz 2

Es sei $[G, \otimes]$ eine Gruppe. Wenn $e \in G$ von links multipliziert Einselement von $[G, \otimes]$ ist, dann ist $e$ auch von rechts multipliziert Einselement von $G$ .

Beweis von Satz 2

Es sei $[G, \otimes]$ Gruppe. Es gelte ferner für das Element $e \in G$ die folgende Eigenschaft: $\forall g \in G: e \otimes g = g$ .
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch $g \otimes e = g$ für alle $g$ aus $G$ gilt.
Wir gehen von $(I) e \otimes g = g$ .
In Gleichung $(I)$ multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit $g^{-1}\otimes g$ und erhalten $(II)$ .
$(II) e \otimes g \otimes (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)$ .
Aus $(II)$ folgt:
$(III) e \otimes g = g \otimes e$ q,e.d.

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 ==Beweis von Satz 2==
 Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
-Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.
+Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.<br />
+Wir gehen von <math>(I) e \otimes g = g</math>.<br />
+In Gleichung <math>(I)</math> multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit <math>g^{-1}\otimes g</math> und erhalten <math>(II)</math>.<br />
+<math>(II) e \otimes g \otimes  (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)</math>.<br />
+Aus <math>(II)</math> folgt:<br />
+<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.
 <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
 |}
 </div>
 [[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (kurz): Unterschied zwischen den Versionen

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Beweis von Satz 1

Linkseins gleich Rechtseins

Satz 2

Beweis von Satz 2

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