Umkehrung von Implikationen SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 29. April 2018, 19:08 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Allgemein

Wir betrachten die Implikation a \Rightarrow b.
Die Implikation b \Rightarrow a ist die Umkehrung der Implikation a \Rightarrow b.
Wir vertauschen also die Rolle von Voraussetzung und Behauptung der Ausgangsimplikation.
Beide Implikationen, Ausgangsimplikation und zugehörige Umkehrung, müssen nicht zwangsläufig denselben Wahrheitsgehalt haben.

Beispiele

Beispiel 1: Teilbarkeit durch 3 und 9

Implikation: Aus der Teilbarkeit durch 9 folgt die Teilbarkeit durch 3

Wenn eine Zahl 9 ein Teiler von a ist, dann ist 3 auch ein Teiler von a.
Voraussetzung: 9 \mid a
Behauptung: 3 \mid a
Die Implikation ist wahr, wie der folgende Beweis zeigt:
Wir übersetzten die Voraussetzung: 9 \mid a
bedeutet: \exists n \in \mathbb{Z}: n \cdot 9 = a.
Wir übersetzen die Behauptung: 3 \mid a bedeutet: \exists m \in \mathbb{Z}: 3 \cdot m= a.

Unter der Voraussetzung, dass eine ganze Zahl n existiert, die mit 9 multipliziert a ergibt, müssen wir also zeigen, dass es eine ganze Zahl m gibt, die mit 3 multipliziert a ergibt.

m=3n leistet das Verlangte:
3 \cdot m = 3 \cdot (3 \cdot n) = (3 \cdot 3) \cdot n = 9 \cdot n = a .

Umkehrung: Aus der Teilbarkeit durch 3 folgt die Teilbarkeit durch 9

Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 9 teilbar.
Voraussetzung der Umkehrung: 3 \mid a
Behauptung der Umkehrung: 9 \mid a
Die Umkehrung einer Implikation ist selbst wieder eine Implikation.
Die Aussage Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 9 teilbar. ist wie die Implikation, aus der sie durch Umkehrung entstand, eine Allaussage:
\forall a \in \mathbb{Z}: 3 \mid a \Rightarrow 9 \mid a
Nun gibt es ganze Zahlen wie etwa 666 (the number of the biest), die sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar sind. Weil aber z.B. 66 zwar durch 3, aber nicht durch 9 teilbar ist, muss die Umkehrung unserer Ausgangsimplikation keine wahre Aussage.

Beispiel 2: In jedem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils kongruent zueinander

Vereinbarungen

Der Begriff Parallelogramm sei entsprechend der Semantik der Begriffsbezeichnung definiert:

Jedes Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten ist ein Parallelogramm.

Implikation

Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind seine gegenüberliegenden Seiten jeweils kongruent zueinander.

Wir spezifizieren die Aussagen der Implikation bzgl. eines Vierecks \overline{ABCD}.
Voraussetzung:

\overline{ABCD} ist ein Parallelogramm.

Behauptung:

Die gegenüberliegenden Seiten von \overline{ABCD} sind kongruent zueinander.

Wir formulieren Voraussetzung und Behauptung entsprechend der Eckpunktsbezeichnungen unseres Parallelogramms und wenden dabei die Definition des Begriffs Parallelogramm an:
Voraussetzung für \overline{ABCD} formuliert:

V1: \overline{AB} \parallel \overline{CD}
V2: \overline{AD} \parallel \overline{BC}

Behauptung für \overline{ABCD} formuliert:

B1: \overline{AB} \cong \overline{CD}
B2: \overline{AD} \cong \overline{BC}

Umkehrung

Versuchen Sie sich selbst ...
Kopieren Sie den Text zur Implikation hier her und ändern Sie ihn einfach entsprechend der Umkehrung ab. Das ist nicht schwer, Sie brauchen mich nicht dafür. Viele Erfolg! --*m.g.* (Diskussion) 19:55, 29. Apr. 2018 (CEST)

Beispiel 3: Jauch reloaded

Vereinbarungen

Unter einem Rechteck wollen wir ein Viereck verstehen, dessen Diagonalen kongruent zueinander sind und die sich gegenseitig halbieren.
Der Begriff Parallelogramm sei entsprechend des vorangegangenen Beispiels definiert.

Implikation: Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm

Wenn ein Viereck gleichlange Diagonalen hat und diese sich gegenseitig halbieren, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

Wir betrachten das Viereck \overline{ABCD}.
Voraussetzung:

V1 \overline{AC}\cong \overline{BD}
V2 \exists M: \{M\}=\overline{AC} \cap \overline{BD} \land \overline{AM} \cong \overline{MC} \land \overline{BM} \cong \overline{MD}

Behauptung:

B1: \overline{AB} \parallel \overline{CD}
B2: \overline{AD} \parallel \overline{BC}

Umkehrung

Versuchen Sie sich selbst ...
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