Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>b\in G </math> das Rechtsinverse zu <math>a \in G</math> ist, dann ist <math>b</math> auch das Linksinverse von <math>a</math> bzgl. <math>\circ</math>.
 
Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>b\in G </math> das Rechtsinverse zu <math>a \in G</math> ist, dann ist <math>b</math> auch das Linksinverse von <math>a</math> bzgl. <math>\circ</math>.
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Es sei <math>[ G, \circ]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn <math>e \in G</math> das Linkseinselement von <math>[ G, \circ]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch das Rechtseinselement von <math>[ G, \circ]</math>.
 
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Version vom 1. Mai 2018, 15:18 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.1

Gegeben sei DD_\Delta:=\left [ \left \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right \}, \circ \right ].
~

Bestimmen Sie a, b, c, d \in \mathbb{R} derart, dass DD_\Delta eine Gruppe ist. Die Operation \circ ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen.

Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix
M=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{pmatrix}
geben Sie z.B. wie folgt ein:
M= \left \{ \left \{ -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \right \} , \left \{ \frac{1}{2} \sqrt{3} , -\frac{1}{2} \sqrt{3} \right \} \right \}.
Geben Sie jetzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes wie etwa P=(0,1) ein. Lassen Sie nun M * P berechnen. Es wird eine Bildpunkt von P berechnet ... .

Aufgabe 2.2

Bestimmen Sie die Verknüpfungstafel der Gruppe \left [ \mathbb{Z}_3, \oplus \right ]. (Restklassen modulo 3, mit Restklassenadddition). Vergleichen Sie mit der Gruppentafel aus Aufgabe 2.1.

Aufgabe 2.3

Es sei \left [ \left \{ e, a, b \right \}, \circ \right ] eine Gruppe mit dem Einselement e.
Beweisen Sie a muss das Inverse von b und b muss das Inverse von a sein.
Was haben Sie mit diesem Beweis gleichzeitig bewiesen?

Aufgabe 2.4

Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen.

Aufgabe 2.5

Es sei [ G, \circ] eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn b\in G das Rechtsinverse zu a \in G ist, dann ist b auch das Linksinverse von a bzgl. \circ.

Aufgabe 2.6

Es sei [ G, \circ] eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn e \in G das Linkseinselement von [ G, \circ] ist, dann ist e auch das Rechtseinselement von [ G, \circ].

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