Lösung Aufgabe 2.3 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten <math>w_\gamma</math>, die Winkelhalbierende von <math>\gamma</math>.<br />
 
Wir betrachten <math>w_\gamma</math>, die Winkelhalbierende von <math>\gamma</math>.<br />

Version vom 22. Mai 2018, 10:46 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.3 SoSe 2018

Formulieren Sie den Basiswinkelsatz für Dreiecke in Wenn-Dann-Form und beweisen Sie ihn. Verwenden Sie für den Beweis die Existenz der Winkelhalbierenden eines Winkels und den Kongruenzsatz SWS. Beziehen Sie sich in Ihrem Beweis sinnvollerweise auf eine Skizze.

Lösung

Basiswinkelsatz in "Wenn-Dann"

Wenn Ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.

Beweis

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen:

  • a:=\overline{BC}
  • b:=\overline{AC}
  • c:=\overline{AB}
  • \alpha := \angle BAC
  • \beta := \angle ABC
  • \gamma := \angle ACB

Voraussetzung

a \cong b

Behauptung

\alpha \cong \beta

Hilfskonstruktion

Wir betrachten w_\gamma, die Winkelhalbierende von \gamma.
w_\gamma liegt vollständig im Inneren von \gamma und schneidet deshalb c im Punkt M. Ferner teilt \gamma in die beiden Teilwinkel \gamma_1:= \angle MCA und \gamma_2:= \angle MCB .

Beweisschritte

\begin{matrix} \text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & \text{Begründung des Beweischrittes} \\ (1) & \gamma_1 \cong \gamma_2 & w_\gamma \text{ ist Winkelhalbierende} \\ (2) & \overline{MC} \cong \overline{MC} & \text{trivial} \\ (3) & a \cong b & \text{Voraussetzung} \\ (4) & \overline{AMC} \cong \overline{BMC} & \text{ (1), (2), (3), SWS} \\ (5) & \alpha \cong \beta & \text{(4), Definition Dreieckskongruenz} \\ \end{matrix}

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