Version vom 10. Juni 2018, 15:56 Uhr

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1 Aufgabe 6.01
2 Lösung 1
- 2.1 Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 16:32, 10. Jun. 2018 (CEST)
  - 2.1.1 Beweis 1

Aufgabe 6.01

In einer Übung definierte eine Kommilitonin den Begriff Halbgerade $AB^+$ wie folgt:
$AB^+:=\overline{AB}\cup\left\{P|P\in AB \wedge |AP|> |BP|\right\}$
In der Vorlesung wurde wie folgt definiert:
$AB^+:=\overline{AB} \cup \left\{P|\operatorname{Zw}(A,B,P)\right\}$ Beweisen Sie:

Definition V $\Rightarrow$ Definition Ü
Definition Ü $\Rightarrow$ Definition V

Lösung 1

Behauptung: Def V <=> Def Ü

zz. P Element von AB, d.h. P muss zwischen den Punkten A und B liegen Strecke AB ist größer als Strecke AP

Kommentar --m.g. (Diskussion) 16:32, 10. Jun. 2018 (CEST)

Hier ist Luft nach oben. Natürlich können wir beide Implikationen zusammenfassen zu einer Äquivalenz. Def Ü genau dann, wenn Def V. Dazu sind zwei Beweise zu führen.

Beweis 1

Wenn $P$ ein Punkt des Strahls $AB^+$ nach Def Ü ist dann ist er auch ein Punkt des Strahls $AB^+$ nach Def V. Sei $P$ ein Punkt von $AB^+$ nach Def Ü.

Voraussetzung

In diesem Fall gilt:
Entweder ist $P$ ein Punkt der Strecke $\overline{AB}$ oder es gilt $P \in AB$ und $\vert BP \vert < \vert AP \vert$ .

Anders ausgedrückt:

Fall 1

$P \in \overline{AB}$

Fall 2

$P \in AB \land \vert|AP\vert > \vert BP\vert$

Behauptung

$P$ ist auch ein Punkt von $AB^+$ nach Definition V, d.h.

Fall a

$P$ gehört zur Strecke $\overline{AB}$

Fall b

$\operatorname{Zw}(A,B,P)$

Der Beweis

Wenn Fall 1 eintritt folgt Fall a.
Es bleibt zu zeigen:
$P \in AB \land \vert AP\vert > \vert BP\vert \Rightarrow \operatorname{Zw}(A,B,P)$
Ferner dürfen wir für diesen Beweis voraussetzen, dass $P \not \in \overline{AB}$ , denn Fall 1 wurde schon abgearbeitet.
Von drei paarweise verschiedenen Punkten $A, B, P$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen (in der Vorlesung bewiesen).
Prinzipiell könnte also gelten:
$\begin{matrix} \text{I} & \operatorname{Zw}(APB) \\ \text{II} & \operatorname{Zw}(PAB) \\ \text{III} & \operatorname{Zw}(ABP) \\ \end{matrix}$

$\text{I}$ kann nicht eintreten, denn das wäre Fall 1 und der ist schon abgearbeitet. ... den Rest können Sie alleine.

@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
 </math>
+<math>\text{I}</math> kann nicht eintreten, denn das wäre Fall 1 und der ist schon abgearbeitet. ... den Rest können Sie alleine.
 <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

SoSe 2018 Lösung von Aufgabe 6.01: Unterschied zwischen den Versionen

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Aufgabe 6.01

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