Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 18/19): Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP''  \right| =2\cdot\left| \angle ASB  \right|</math>.<br />   
 
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP''  \right| =2\cdot\left| \angle ASB  \right|</math>.<br />   
 
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Vor: P''= S<sub>a</sub><math>\circ</math>S<sub>b</sub>(P). Beh: |<(PSP'')|= 2|<(ASB)|<br />
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Vor: P"= S<sub>a</sub><math>\circ</math>S<sub>b</sub>(P). Beh: |<(PSP'')|= 2|<(ASB)|<br />
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1.) S<sub>a</sub>(P) = P' und S<sub>b</sub>(P') = P'' '''- Vor., Verkettung von Geradenspiegelung'''<br />
+
1.) S<sub>a</sub>(P) = P' und S<sub>b</sub>(P') = P" '''- Vor., Verkettung von Geradenspiegelung'''<br />
 
2.) <math>|\angle PSA| = |\angle P'SA|</math> '''- 1.) Winkelmaßerhaltung'''<br />
 
2.) <math>|\angle PSA| = |\angle P'SA|</math> '''- 1.) Winkelmaßerhaltung'''<br />
 
3.) <math>|\angle P'SB| = |\angle P''SB|</math> '''- 1.) Winkelmaßerhaltung'''<br />
 
3.) <math>|\angle P'SB| = |\angle P''SB|</math> '''- 1.) Winkelmaßerhaltung'''<br />

Aktuelle Version vom 11. Januar 2019, 21:07 Uhr

Beweisen Sie Satz IX.2:
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden a und b mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S, sowie zwei Punkten A\in a und B\in b, die von S jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung S_{a}\circ S_{b} . Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt P''=S_{a}\circ S_{b}(P) gilt: \left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|.

Vor: P"= Sa\circSb(P). Beh: |<(PSP)|= 2|<(ASB)|
 1.) Sa(P) = P' und Sb(P') = P" - Vor., Verkettung von Geradenspiegelung
2.) |\angle PSA| = |\angle P'SA| - 1.) Winkelmaßerhaltung
3.) |\angle P'SB| = |\angle P''SB| - 1.) Winkelmaßerhaltung
4.) |\angle PSP'| = |\angle PSA|+|\angle ASP'| = 2|\angle PSA| - 2.), Winkeladdition
5.) |\angle P'SP''| = |\angle P'SB|+|\angle BSP''| = 2\angle P''SB| - 3.), Winkeladdition
6.) |\angle PSP''| = |\angle PSP'|+|\angle P'SP''| - Winkeladdition
7.) |\angle PSP''| = 2|\angle PSA|+ 2|\angle P''SB| - 4.), 5.), 6.)
8.) |\angle PSP''| = 2( |\angle ASP'|+|\angle P'SB| ) - 7.), Distributivgesetz
9.) |\angle PSP''| = 2( |\angle ASB| ) - 8.) Winkeladdition
=> |\angle PSP''|= 2|\angle ASB|. Die Behauptung ist damit bewiesen.--CIG UA (Diskussion) 21:35, 20. Dez. 2018 (CET)

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