Beweise zu den Sätze WS10/11: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | :Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. | ||
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| + | :Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P. | ||
| + | :Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben. | ||
| + | :Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben. | ||
| + | :Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden. | ||
| + | :Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein. | ||
| + | :Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind. | ||
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| − | + | :Es seien g und h zwei Geraden. | |
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| − | + | :Es seien dieses die Punkte P und Q. | |
| − | + | :Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind. | |
| − | + | :Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1. | |
| − | + | :Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen. | |
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| − | Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam. | + | |
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| − | Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind. | + | |
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| − | Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen. | + | |
Version vom 14. November 2010, 15:24 Uhr
Beweise zu den Sätze
Beweis von Satz I.1
- Voraussetzung: Es seien g und h zwei Geraden, die nicht identisch sind.
- Fall 1:
- Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.
- Fall 2:
- Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P.
- Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.
- Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben.
- Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.
- Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein.
- Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind.
Beweis von Satz I.2
- Es seien g und h zwei Geraden.
- Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam.
- Es seien dieses die Punkte P und Q.
- Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind.
- Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.
- Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen.
