Lösung von Aufg. 6.6: Unterschied zwischen den Versionen

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Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.
 
Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.
  
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1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden<br />
  
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    Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar<br />
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    Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden<br />
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    Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br />
  
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      Beweisschritt                                    Begründung<br />
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    1. Es existierte genau eine Gerade g                Axiom I/1<br />
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      die die Punkte A und B enthält<br />
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    2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g        Axiom I/3<br />
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    3. A,B C sind nicht kollinear                      1), 2)<br />
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    4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält      Axiom I/4<br />
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    5. C = D                                            Annahme<br />
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    6. D ist Element der Ebene E                        5)<br />
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    7. A,B,C,D sind komplanar                          4), 6)<br />
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    Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.
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3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br />
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4.  <br />
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    Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br />
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    Behauptung: A,B,C,D sind komplanar
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    Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C  <br />  enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar<br />
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5.  Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar<br />
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--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)

Version vom 17. November 2010, 10:18 Uhr

Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.

Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden

2. 

   Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar

   Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden

   Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D


     Beweisschritt                                     Begründung

   1. Es existierte genau eine Gerade g                Axiom I/1

      die die Punkte A und B enthält

   2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g         Axiom I/3

   3. A,B C sind nicht kollinear                       1), 2)

   4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält      Axiom I/4

   5. C = D                                            Annahme

   6. D ist Element der Ebene E                        5)

   7. A,B,C,D sind komplanar                           4), 6)

    Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar

4. 

   Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D

   Behauptung: A,B,C,D sind komplanar
    
   Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C   
  enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar

5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar
--Sommer80 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)

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