Halbebenen oder das Axiom von Pasch (WS10/11): Unterschied zwischen den Versionen
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Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br /> | Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br /> | ||
− | Definition: Halbraum<br /> | + | <u>Definition: Halbraum</u> <br /> |
− | Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des | + | Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:<br /> |
1) Jede der Mengen ist konvex<br /> | 1) Jede der Mengen ist konvex<br /> | ||
− | 2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen der Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E nicht.<br /> | + | 2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen der Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E nicht.<br /> --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC) |
== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen == | == Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen == |
Version vom 3. Dezember 2010, 18:16 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
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Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden dieser Ebene liegen, durch diese Gerade eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von bezüglich der Trägergeraden . Der nicht zu gehörende Referenzpunkt bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich mit auf derselben Seite liegen, wird mit bezeichnet, die andere offene Halbebene von bezüglich und mit .
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und einer Ebene auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Unter den offenen Halbebenen und bezüglich der Trägergeraden versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene ohne die Gerade :
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Halbebenen
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.
Definition IV.2: (Halbebene)
- Es sei eine Gerade der Ebene . und seien die beiden offenen Halbebenen von bezüglich . Unter den (geschlossenen) Halbebenen von bezüglich versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von bezüglich der Geraden mit jeweils dieser Geraden entstehen.
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: , (geschlossene) Halbebene: . Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass bzw. immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
Definition: Halbraum
Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:
1) Jede der Mengen ist konvex
2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen der Mengen gehört, dann schneidet die Strecke die Ebene E nicht.
--Engel82 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC)
Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen
Repräsentantenunabhängigkeit?
Satz IV.1
- Wenn ein Punkt der Halbebene ist, dann gilt und .
Beweis des Satzes IV.1
Voraussetzung:
Behauptung: und
Üben Sie sich hier:
Das Axiom von Pasch
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
- Gegeben sei ein Dreieck . Ferner sei eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte geht. Wenn eine der drei Seiten des Dreiecks schneidet, dann schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks .
Konvexe Punktmengen
Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
- Eine Menge von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten und dieser Menge die gesamte Strecke zu gehört.
Satz IV.2
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Beweis von Satz IV.2
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
Satz IV.3
- Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Beweis von Satz IV.3
Es seien und zwei konvexe Mengen.
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen und ist auch konvex.