Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (WS10/11): Unterschied zwischen den Versionen

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  siehe Auftrag der Woche 9.
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===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
 
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Version vom 14. Dezember 2010, 13:31 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
Es sei \ m eine Gerade und \overline{AB} eine Strecke, die durch \ m im Punkt \ M geschnitten wird. \ m ist die Mittelsenkrechte von \overline{AB}, wenn
  1. m \perp AB
  2. \left| AM \right| = \left| MB \right|
Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)
Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Beweis von Satz VI.1

Es sei \overline{AB} eine Strecke, die vollständig zur Ebene \ \Epsilon gehören möge.

Behauptungen:
  1. Es gibt in \ \Epsilon eine Gerade \ m, die die Mittelsenkrechte von \overline{AB} ist.
  2. Es gibt in \ \Epsilon nicht mehr als eine Gerade \ m, die die Mittelsenkrechte von \overline{AB} ist.
Beweis der Existenzbehauptung:

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt \ Q ein, der zur Ebene \ \Epsilon aber nicht zur Geraden \ AB gehören möge.

Nr. Beweisschritt Begründung
(i) \exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB| Definition III.1 (Mittelpunkt)
(ii) \exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90 Definition V.6 (rechter Winkel)
(iii) \ PM ist Mittelsenkrechte von \overline{AB} (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht),
Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von \overline{AB} gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung

Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1). Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

Winkelhalbierende

Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

Definition VI.2 (Winkelhalbierende)
siehe Auftrag der Woche 10.
Satz VI. 1 \frac{1}{2}
Es sei \ SW^+ die Winkelhalbierende des Winkels \angle ASB. Dann gilt | \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |.
Beweis von Satz VI. 1 \frac{1}{2}

Übungsaufgabe

Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)
siehe Auftrag der Woche 9.
Beweis von Satz VI.2

Übungsaufgabe

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