Lösung von Aufg. 7.4: Unterschied zwischen den Versionen
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zu zeigen: <math>P_1\not\equiv P_2</math><br /> | zu zeigen: <math>P_1\not\equiv P_2</math><br /> | ||
− | Annahme: P1 =P2 | + | Annahme: P1 =P2<br /> |
− | 8) A, D und <math>P_1=P_2 \in\beta </math> | + | 8) A, D und <math>P_1=P_2 \in\beta </math><br /> |
− | + | 9) A, D und <math>P_1=P_2 \in\gamma </math><br /> | |
− | + | 10)<math>\beta</math>= <math>\gamma</math><br /> | |
− | + | 11) Widerspruch zu 4)<br /> | |
− | + | <math>\rightarrow</math> A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in)<math>A \in\epsilon </math> | |
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Version vom 16. Dezember 2010, 17:08 Uhr
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Vor: Ebene ,nkomp(A,B,C,D)
Beh: enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte
Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene trivial
Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene
,
1) , , und
2) ________Lemma 3 und Axiom I/4
3)__________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4) ___________3)
5)________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6) und ____________2) und 4)
7) ,,________6) und Axiom I/6
bleibt zu zeigen :
: , ,
: , ,
daraus folgt komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)
3.Fall:
1)
2)__________________Axiom I/4 und Lemma 3
3) ________________Axiom I/4 und Lemma 3
4)_____________da sonst Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)
5), __________2) und 3)
6), , ___________Axiom I/4
7), , ___________Axiom I/4
zu zeigen:
Annahme: P1 =P2
8) A, D und
9) A, D und
10)=
11) Widerspruch zu 4)
A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in)
Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von
enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
Fall 3